このシリーズでは，面正則多面体を辺に沿って切り開いた展開図のうち，少なくともひとつがタイル貼りできる性質（ＴＰ）をもつ多面体を探索して，いくつも見つけることができましたが，Ｊ85と四角反柱だけが未解決のまま残っておりました．Ｊ85は四角反柱の屋根と床をそのままとして側面を建て増しした形のＪＺ多面体です．

　一般に頂点数ｖの多面体の展開図はｖ−１本の辺に切れ込みを入れて得られます．その際，閉路ができないようにすべての頂点を結ぶ木構造の切れ込みを入れます．一筆書き問題のように奇頂点で始まって奇頂点で終わるような規則があればよいのですが，残念ながら展開図ではそのような規則はないようです．

　ところが，先日，シェパード先生からＪ85と四角反柱はＴＰ多面体ではないというメールが送られてきました．ちゃんとした証明はあらためて紹介することにしますが，今回のコラムでは，証明というよりもこじつけに近いものを紹介します．

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【１】直観的こじつけ

　立方体の展開図は，立方体の７本の辺に切れ込みを入れて得られる．一般に頂点数ｖの多面体の展開図はｖ−１本の辺に切れ込みを入れて得られる．また，ひとつの頂点まわりに注目すると，頂点図形は何本かの切れ込みにより開裂する．

　展開図で６０°未満の角度が形成される頂点は

　　［３，３，３，３，４］

　　［３，３，４，６］

　　［３，４，４，４］

　　［４，６，６］

があるが，Ｊ85には

　　［３，３，３，３，４］

　　［３，３，３，３，３］

しかなく，正方形の周りをどのように開裂させても６０°未満の角度は解消されない．

　また，四角反柱には

　　［３，３，３，４］

しかなく，その隙間を埋めるのは正方形に限られるが，正方形の周りをどのように開裂させてもＴＰ性をもつようにはできないのである．

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【２】ＴＰ多面体のリストアップ

　証明は完全ではないのですが，これでＴＰ多面体のリストは，以下ですべてであると予想されます．

［１］正多面体

　　正１２面体を除く４種類

［２］準正多面体

　　すべてＮＧ

［３］アルキメデス角柱

　　立方体

［４］アルキメデス反角柱

　　六角反柱，三角反柱（正八面体）

［５］ＪＺ多面体

　　１７種類（Ｊ1，Ｊ10，Ｊ12-17，Ｊ49-51，Ｊ84，Ｊ86-90）

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