■係数gkの整除性

  gk=(k^2)!/1・2^2・・・k^k・(k+1)^k-1・・・(2k−1)

 この式において,

  g1=1,g2=2,g3=42,g4=24024

だが,gkが整数であることは決して自明ではなく,にわかには信じがたい.

 そこで,この続きを阪本ひろむ氏に計算してもらったところ

  g5=701149020

  g6=1671643033734960

  g7=475073684264389879228560

  g8=22081374992701950398847674830857600

以降g100まで,整数であることが確認された.もはやこの式の整除性を疑うことはできまい.連続するk個の自然数の積はk!で割り切れることを使って証明してみたい.

 連続するk個の自然数の積

  n(n−1)・・・(n−k+1)

がk!で割り切れることは

  n(n−1)・・・(n−k+1)/k!

が整数であることがいえればよいのであるが,

  n(n−1)・・・(n−k+1)/k!=nCk

すなわち,組み合わせの総数=整数であるから明らかであろう.

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【1】項比

  gk+1=((k+1)^2)!/1・2^2・・・k^k・(k+1)^k+1・(k+2)^k・・・(2k)^2・(2k+1)

であるから,項比は

  gk+1/gk=((k+1)^2)!/(k^2)!・(k+1)^2・・・(2k)^2・(2k+1)

  ((k+1)^2)!/(k^2)!=(k^2+1)(k^2+2)・・・(k^2+2k+1)

には連続する2k+1個の自然数の積があるから(2k+1)!で割り切れる.

 したがって,

  (2k+1)!/(k+1)^2・・・(2k)^2・(2k+1)

 =(2k)!/(k+1)^2・・・(2k)^2

ここで,

  (2k)!=k!(k+1)(k+2)・・・(2k)

より,

  (2k)!/(k+1)^2・・・(2k)^2

  =k!/(k+1)(k+2)・・・(2k)

が整数になればよいのであるが,分子の

  (k+1)(k+2)・・・(2k)

は連続するk個の自然数の積であるからk!で割り切れることより,整数にはならない.

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【2】項比によらずに

 [1]では項比を計算したが,項比によらずに計算したとしてもうまくいかない.ここではそれを示しておきたい.失敗もまた勉強である.

  gk=(k^2)!/1・2^2・・・k^k・(k+1)^k-1・・・(2k−1)

の分母は

  連続する2k−1個の自然数の積:1・2・3・・・(2k−1)

  連続する2k−3個の自然数の積:2・・・(2k−2)

  連続する2k−5個の自然数の積:3・・・(2k−3)

  連続する1個の自然数の積   :k

があるから,1!・3!・・・(2k−3)!・(2k−1)!で割り切れる.

 一方,分子には連続するk^2個の自然数の積があり,それを

  k^2=1+3+・・・+(2k−3)+(2k+1)

とk組の連続する奇数個の自然数の積に分割することができる.したがって,  1!・3!・・・(2k−3)!・(2k−1)!

で割り切れる.

 これより,

  1!・3!・・・(2k−3)!・(2k−1)!/分母

が整数になればよいのであるが,分母もまた

  1!・3!・・・(2k−3)!・(2k−1)!

で割り切れることより,整数にはならない.

 なお,分母は

  (2k−1)!・(2k−2)!/1!・(2k−3)!/2!・・・(2k−k)!/(k−1)!

と変形されるから,

  1!・3!・・・(2k−3)!・(2k−1)!/分母

 =(2k−1)!・(2k−3)!・・・3!・1!/分母

 =1/(2k−2)・2!/(2k−3)(2k−4)・3!/(2k−4)(2k−5)(2k−6)・・・

となって,ますます事態は混迷化する.

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【3】雑感

 証明に無駄があることが確かである.もっと直接的に,

[1](k^2+1)(k^2+2)・・・(k^2+2k+1)には,(k+1)の倍数が2個以上,・・・,(2k)の倍数が2個以上,(2k+1)の倍数が1個以上ある

[2](k^2)!には,2の倍数が2個以上,・・・,kの倍数がk個以上,(k+1)の倍数が(k−1)個以上,・・・,(2k−1)の倍数が1個以上ある

とかを証明した方がよいのかもしれない.次回の宿題としたい.

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