３次元では，５種類の平行多面体をペンタドロンという１種類の元素から構成することができた．ところが，４次元以上の平行多面体では

　　４次元　→　最小元素数は３種類以上？

　　５次元　→　最小元素数は２２２種類以上？

という煮えきらない結果しか得られない．３次元の場合うまくいきすぎている感があるのだが，その理由はなぜだろうか？

　ｎ次元平行多面体の元素の具体的な構成方法は（その１）に示したが，本稿では発想の転換が必要なことをあらためて強調しておきたい．

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【１】ミンコフスキーの定理とプリミティブ

　一般に，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個，最小２ｎ個となるが，各頂点の次数がｎで面数が最大２（２^n−１）面の場合がプリミティブである（ミンコフスキーの定理）．

　２次元の平行多面体は２種類（原始的１），３次元の平行多面体は５種類（原始的１）あるが，４次元の平行多面体は３次元の５種類から５２種類（原始的３）へと急増する．また，５次元の場合には，１０３９９１種類と膨大で，原始的なものだけでも２２２種類見つかっている．５次元での平行多面体の状況ははるかに多様となって，そのリストアップはいまでも完成していない．急速に複雑さが増していくのである．

　３次元の場合がうまくいったのは，平行多面体が５種類しかかなかったことよりも，プリミティブが１種類に限られていることによっているのである．

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【２】トップダウンとボトムアップ

　３次元のプリミティブは切頂八面体である．３次元では切頂八面体を４８分割すること（top down）によって，ペンタドロンを得ることができ，それが５種類ある平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体−−に共通する元素であることを容易に確認することができた．

　４次元以上でもｎ次元の立方体とｎ次元のプリミティブに共通する元素を作ることができれば，それがｎ次元平行多面体の元素となりうる可能性は大である．ところが４次元以上ではいささか事情が異なってくる．ｎ次元のプリミティブは１種類ではないからである．

　たとえば，４次元の場合，胞数が最大の３０であるものが３つ

　　　Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8　　（原始的）

　　　Ｐ30＝４Ｐ14＋６Ｐ12＋１２Ｐ10＋２Ｐ8＋６Ｐ6

　　　Ｐ30＝１８Ｐ12＋６Ｐ8＋６Ｐ6

ある．したがって，４次元以上の平行多面体の元素数を決定することは（興味深い問題ではあったとしても）容易ではない．座標さえわからないのでは事実上絶望的であるといってもよい．

　しかし，ｎ次元の立方体は１種類であるから，ｎ次元立方体を分割することによって元素を構成する，すなわち，bottom upの方が都合がよい．そこで，発想を転換して，高次元の平行多面体の元素数を決定するのではなく，元素となる多面体を構成することを目標としたほうが何かと都合がよいと考えられるのである．

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【３】本質は何か？

　３次元の正多面体元素定理で本質的な役割を果たしたのはＲＴ（trirectangular tetrahedoron）であったが，平行多面体元素定理の本質はもうひとつの直角三角錐であるquadrirectangular tetrahedoronにある．

　これは立方体の基本単体（４８分割体）であるが，一般にｎ次元立方体の基本単体Δ^nはｎ次元立方体の２^n・ｎ！分割体で，

　　Δ^n＝｛（ｘ1，・・・，ｘn）｜０≦ｘn≦・・・≦ｘ1≦１｝

なる領域として与えられる．

　なお，私自身も誤解していましたが，４次元の正１６胞体は平行多面体ではありません．空間充填形ではありますが，そのためには平行移動したものだけでは済まず，回転させた位置のもの−−軸でいえば［１０００］軸でなく［１１１１］軸のもの−−が不可欠です．正８胞体，正２４胞体は平行多面体です．

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