（その７）（その９）の誤解を招きやすい表現があったので，厳密に記載してみたい．

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　多面体の頂点ベクトルをｐ1，・・・，ｐv，重心ベクトルを

　　ｃ＝（ｐ1＋・・・＋ｐv）／ｖ

任意の点をｚとすると

　　Σ｜ｐk−ｚ｜^2＝Σ｜ｐk−ｃ｜^2＋ｖ｜ｃ−ｚ｜^2

が成り立つ．

　もっと一般的には，各頂点に重みｗkを設けて，

　　Ｗ＝Σｗk，Σｗkｐk＝Ｗｃ

とおくと

　　Σｗk｜ｐk−ｚ｜^2＝Σｗk｜ｐk−ｃ｜^2＋Ｗ｜ｃ−ｚ｜^2

が成り立つ．ｗk＝１のときが

　　Σ｜ｐk−ｚ｜^2＝Σ｜ｐk−ｃ｜^2＋ｖ｜ｃ−ｚ｜^2

である．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　また，すべての辺と対角線について

　　Σｗiｗk｜ｐi−ｐk｜^2＝ＷΣｗk｜ｚ−ｐk｜^2−Ｗ^2｜ｃ−ｚ｜^2

が成り立つ．

　外接球をもつ多面体の場合，外接球の中心Ｏについてｚ＝Ｏとおくと，

　　Σｗiｗk｜ｐi−ｐk｜^2＝ＷΣｗk｜ｐk｜^2−Ｗ^2｜ｃ｜^2

外接球をもたない多面体の場合，重心ｃについてｚ＝ｃとおくと，

　　Σｗiｗk｜ｐi−ｐk｜^2＝ＷΣｗk｜ｃ−ｐk｜^2

　ｗk＝１のとき，それぞれ

　　Σ｜ｐi−ｐk｜^2＝ｖΣ｜ｚ−ｐk｜^2−ｖ^2｜ｃ−ｚ｜^2

　　Σ｜ｐi−ｐk｜^2＝ｖΣ｜ｐk｜^2−ｖ^2｜ｃ｜^2

　　Σ｜ｐi−ｐk｜^2＝ｖΣ｜ｃ−ｐk｜^2

となる．

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［１］外接球を有し，ｃ＝０のとき（外接球の中心ＯについてΣＰj＝０を満たす）　→　Σｄi^2＝ｖ^2が成立

　Ｊ27，Ｊ34，Ｊ37，Ｊ72-75，Ｊ80の８種類は外接球を有しΣＰj＝０を満たす（Ｊ73，Ｊ80は中心対称）．

［２］外接球を有し，ｃ≠０のとき（外接球の中心ＯについてΣＰj≠０を満たす）　→　Σｄi^2＝ｖ^2（１−ｃ^2）が成立

　Ｊ1-6，Ｊ11，Ｊ19，Ｊ62-63，Ｊ76-79，Ｊ81-83の１７種類は外接球を有しΣＰj≠０を満たす．

［３］外接球をもたず，ｃ＝０のとき（重心ｃについてΣＰj＝０を満たす）　→　Σｄi^2＜ｖ^2が成立

［４］外接球をもたず，ｃ≠０のとき　→　Σｄi^2＜ｖ^2（１−ｃ^2）が成立

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