π＝３．１４１５９２６５３５８９・・・の近似値として有名なのが

　　２２／７＝３．１４２８５７１４２８５７・・・

　　３５５／１１３＝３．１４１５９２９２０３５３・・・

である．前者は６桁で循環，後者は１１２桁で循環するが，πは無理数なので同じ数字の列が循環することはない．

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【１】πの積分近似

　１９４４年，ダルゼルがπと２２／７を結びつける積分

　　∫(0,1)ｘ^4（１−ｘ）^4／（１＋ｘ^2）ｄｘ＝２２／７−π

という面白い公式を発見した．左辺の表現の対称性が見事である．

　　ｘ^4（１−ｘ）^4／（１＋ｘ^2）＝ｘ^6−４ｘ^5＋５ｘ^4−４ｘ^2＋４−４／（１＋ｘ^2）

　　∫(0,1)（ｘ^6−４ｘ^5＋５ｘ^4−４ｘ^2＋４）ｄｘ＝２２／７

　　∫(0,1)４／（１＋ｘ^2）＝π

　さらに，２００５年，ルーカスがπと３５５／１１３を結びつける積分

　　∫(0,1)ｘ^8（１−ｘ）^8（２５＋８１６ｘ^2）／３１６４（１＋ｘ^2）ｄｘ＝３５５／１１３−π

を見つけた．

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【２】ガウスの円問題

　原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．

　　Ｒ（１０）＝３１７　　　　　　　Ｒ（１００）＝３１４１７

　　Ｒ（２０）＝１２５７　　　　　　Ｒ（２００）＝１２５６２７

　　Ｒ（３０）＝２８２１　　　　　　Ｒ（３００）＝２８２６９７

　Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．

　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2　　　　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2

　　１０　　　３．１７　　　　　　　１００　　　３．１４１７

　　２０　　　３．１４２５　　　　　２００　　　３．１４０７２５

　　３０　　　３．１３４　　　　　　３００　　　３．１４１０７

　ガウスは

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ

を示したが，

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k

となるｋの最小値を求める問題に一般化される．

　シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．ヴィノグラードフはｋ≦３４／５３，１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．

　下の値は１９１５年，ハーディとランダウが与えたｋ＝１／２と予想されている．同じ問題を３次元球についても考えることができる．→コラム「平面上の格子点」参照

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