１６次方程式

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

の両辺にｘ−１をかけると

　　ｘ^17−１＝（ｘ−１）（ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１）＝０

となるので，これはガウス平面で正１７角形の頂点を表す方程式となる．

　　ｘ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

　両辺をｘ^8でわり，

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／１７）

と変数変換をし，最後に２次方程式に帰着させるというストーリーは「労多くして益なし」ということになると思うが，まずはやってみよう．

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【１】単純素朴な方法

　　ｘ^8＋ｘ^7＋・・・・＋１／ｘ^7＋１／ｘ^8＝０

　　ｘ^8＋１／ｘ^8＝（ｘ＋１／ｘ）^8−８（ｘ^6＋１／ｘ^6）−２８（ｘ^4＋１／ｘ^4）−５６（ｘ^2＋１／ｘ^2）−７０

　　ｘ^7＋１／ｘ^7＝（ｘ＋１／ｘ）^7−７（ｘ^5＋１／ｘ^5）−２１（ｘ^3＋１／ｘ^3）−３５（ｘ＋１／ｘ）

　　ｘ^6＋１／ｘ^6＝（ｘ＋１／ｘ）^6−６（ｘ^4＋１／ｘ^4）−１５（ｘ^2＋１／ｘ^2）−２０

　　ｘ^5＋１／ｘ^5＝（ｘ＋１／ｘ）^5−５（ｘ^3＋１／ｘ^3）−１０（ｘ＋１／ｘ）

　　ｘ^4＋１／ｘ^4＝（ｘ＋１／ｘ）^4−４（ｘ^2＋１／ｘ^2）−６

　　ｘ^3＋１／ｘ^3＝（ｘ＋１／ｘ）^3−３（ｘ＋１／ｘ）＝ｙ^3−３ｙ

　　ｘ^2＋１／ｘ^2＝（ｘ＋１／ｘ）^2−２＝ｙ^2−２

　　ｘ^4＋１／ｘ^4＝ｙ^4−４ｙ^2＋２

　　ｘ^5＋１／ｘ^5＝ｙ^5−５ｙ^3＋５ｙ

　　ｘ^6＋１／ｘ^6＝ｙ^6−６ｙ^4＋９ｙ^2−２

　　ｘ^7＋１／ｘ^7＝ｙ^7−７ｙ^5＋１４ｙ^3−７ｙ

　　ｘ^8＋１／ｘ^8＝ｙ^8−８ｙ^6＋２０ｙ^4−１６ｙ^2＋２

　　ｘ^8＋ｘ^7＋・・・・＋１／ｘ^7＋１／ｘ^8＝０

　＝ｙ^8＋ｙ^7−７ｙ^6−６ｙ^5＋１５ｙ^4＋１０ｙ^3−１０ｙ^2−４ｙ＋１

　しかし，MathematicaではこれもＮＧ．数値解ｙ＝２ｃｏｓ（２π／１７）＝１．８６４９４のみで解析解がでてこない．予想通り「労多くして益なし」という笑い話になった．

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【２】体の拡大による方法

　まず，正五角形の場合を考える．

　　ζ^4＋ζ^3＋ζ^2＋ζ＋１＝０

　　ζ＝ｃｏｓ（２π／５）＋ｉｓｉｎ（２π／５）

このとき，正五角形の５個の頂点は１，ζ，ζ^2，ζ^3＝ζ^ｰ2，ζ^4＝ζ^-1．

　α＝ζ＋ζ^4とおくと，ζ^5＝１より

　　α^2＝ζ^2＋２＋ζ^3

　　α^2＋α＝ζ^4＋ζ^3＋ζ^2＋ζ＋２＝１

　　α＝（√５−１）／２

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　このアイディアに従って，

　　ζ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

　　α＝ζ＋ζ^-1＝２ｃｏｓ（２π／１７）

　　α’＝ζ^4＋ζ^-4

　　β＝ζ＋ζ^4＋ζ^-1＋ζ^-4

　　β’＝ζ^2＋ζ^8＋ζ^-2＋ζ^-8

　　γ＝ζ＋ζ^2＋ζ^4＋ζ^8＋ζ^-1＋ζ^-2＋ζ^-4＋ζ^-8

　　γ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^6＋ζ^7＋ζ^-3＋ζ^-5＋ζ^-6＋ζ^-7

とおき，Ｑ≦Ｑ（γ）≦Ｑ（β）≦Ｑ（α）≦Ｑ（ζ）の各体がその前の体の２次拡大であることを示す．

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

より，γ＋γ’＝−１，γγ’＝−４となるから，γはｘ^2＋ｘ−４＝０の根．　　γ＝（√１７−１）／２＝１．５６１５５

　同様に，

　　β＋β’＝γ，ββ’＝−１となるから，βはｘ^2−γｘ−１＝０の根．　　β＝（γ＋√（γ^2＋４））／２＝（−１＋√１７＋√（３４−２√１７））／４＝２．０４９４８

　　α＋α’＝β，αα’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^-3＋ζ^-5＝β”，β”’＝ζ^6＋ζ^7＋ζ^-6＋ζ^-7とおくと，

　　β”＋β”’＝γ’，β”β”’＝−１

となるから，β”はｘ^2−γ’ｘ−１＝０の根．

　　β”＝（−１−√１７＋√（３４＋２√１７））／４

　αはｘ^2−βｘ＋β”＝０の根より，

　　α＝２ｃｏｓ（２π／１７）＝１／８｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝＝１．８６４９４

が得られる．

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