定規とコンパスだけで正３角形，正４角形，正６角形，正８角形が作図できることは簡単にわかりますが，辺の数５，７，９の場合はどうでしょうか．

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【１】ｃｏｓ（π／７）とｃｏｓ（π／９）

　正５角形は古代ギリシャにおいて作図可能であることが発見されました．正５角形の作図は黄金比と関連していて，２次方程式：ｘ^2−ｘ−１＝０を解く，すなわち（√５＋１）／２を求めることによって可能となりました．ギリシャ人は黄金分割を用いた見事な方法で正五角形の作図に成功したのですが，この方法は二次方程式の幾何学的解法を利用した賢明な方法といえます．

　となれば，次に正７角形・正９角形の作図は？と考えるのは自然な成り行きでしょう．正７角形＝ｃｏｓ（π／７）が３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着することは（その１８）で見たとおりですが，正９角形はｘ＝ｃｏｓ（π／９）とおくと，３倍角の公式

　　４ｘ^3−３ｘ＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２

より，３次方程式：８ｘ^3 −６ｘ＋１＝０に帰着します．あるいは，θ＝π／９，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　９θ＝π，５θ＝π−４θ

より，

　　ｃｏｓ５θ＝−ｃｏｓ４θあるいはｓｉｎ５θ＝ｓｉｎ４θ

　前者は５次方程式

　　１６ｃｏｓ^5θ−２０ｃｏｓ^3θ＋５ｃｏｓθ＝−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ−１

となるが，後者は

　　１６ｓｉｎ^5θ−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ＝８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ

　　１６ｓｉｎ^4θ−２０ｓｉｎ^2θ＋５＝８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ

よりｃｏｓθ関する３次方程式に帰着するというわけである．

　したがって，正７角形，正９角形の作図や倍積問題のように３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けません．

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【２】チェビシュフ多項式

　ところで，ド・モアブルの定理：

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較すると

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n−nＣ2（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・＝（ｃｏｓθのｎ次多項式）＝Ｔn（ｃｏｓθ）

　　ｓｉｎｎθ＝nＣ1（ｃｏｓθ）^n-1ｓｉｎθ−nＣ3（ｃｏｓθ）^n-3（ｓｉｎθ）^3＋・・・＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθのｎ−１次多項式）＝ｓｉｎθ×Ｕn（ｃｏｓθ）

を得る．

　このことから，ｃｏｓ（π／ｎ），ｎ＝２ｍ＋１のとき，

　　ｃｏｓ（ｍ＋１）θ＝−ｃｏｓｍθとｓｉｎ（ｍ＋１）θ＝ｓｉｎｍθ

では後者の方が方程式の次数が下がり，ｍ次方程式となることがおわかりいただけるであろう．

　なお，

　　ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）−ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）＋ｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ

より，漸化式

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−（ｓｉｎθ）^2Ｕn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝Ｔn-1（ｃｏｓθ）＋ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−Ｔn-2（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）−Ｕn-2（ｃｏｓθ）

が成り立つ．

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【３】ｃｏｓ（π／１７）

　辺数３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６の正多角形は作図できますが，辺数７，９，１１，１３，１４の正多角形は作図できないことから，正１７角形もそうであろうと推察されます．ところが，１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつき，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２^2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．

　ｎが素数の場合のみを扱うが，ｃｏｓ（π／１１），ｃｏｓ（π／１３）は省略して，ｘ＝ｃｏｓ（π／１７）とおくと，

　　ｓｉｎ９θ＝ｓｉｎ８θ

より，８次方程式

　　２５６ｘ^8−４４８ｘ^6＋２４０ｘ^4−４０ｘ^2＋１＝１２８ｘ^7−１９２ｘ^5＋８０ｘ^3−８ｘ

に帰着する．この問題は＋−×÷√の演算を組み合わせると解けて，ｘ＝０．９８２９７３になる．

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　正７角形も正９角形も作図できないのに，まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが，このことを用いると，ｍ＝０のとき正３角形，ｍ＝１のとき正５角形，ｍ＝２のとき正１７角形となり，作図可能であることがわかります．当然，ずっと面倒になるでしょうが，正２５７角形（ｍ＝３），正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です．

　２^2^m＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．フェルマー素数はガウスによって１世紀にわたる眠りから覚まされ，数論と幾何学に新たな美しさを吹き込んだことになります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｍ＝５のときは素数ではなく，現在，ｍ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．６番目のフェルマー素数の探索がコンピュータを使ってなされていますが，はたして本当に存在するのでしょうか．

　アルキメデスは円柱とそれに内接する球の体積比が３：２であることを発見した記念に，自分の墓の上に円柱の形をした記念碑をおくように遺言したといわれています．アルキメデスと同じように，ガウスは正１７角形を墓石に彫るよう遺言しています．このことはガウス自身がその発見をいかに重視したかを物語っています．数々の大発見をしたガウスですが，１９才の青年がアルキメデスをもってしてもできなかった古代ギリシア以来２０００年の謎を解いたのですから，まさに驚きとしかいいようがありません．この正１７角形の作図は彼を本格的に数学の道に入らせるきっかけとなったといわれています．

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