（その４２）に引き続いて，正多面体元素定理の証明の考え方の変遷を振り返ってみることにする．

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【１】デーンの定理の一般化

　３次元では，５種類の正多面体で

　　ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ8＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

　→Ｎ1δ4＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

すなわち，デーンの定理（Ｎ1δ4≠０，ｍｏｄ　π）の一般化において，整数係数（有理係数）での線形独立性が成り立ち，必要な原子が最低４種類という結論が主張できた．このことから正多面体の元素数は少なくとも４種類であり，実際，ＲＴ，正四面体，正十二面体，正二十面体で元素数４の例が構成できることを示すことによって，at most 4とat least 4，これらのことから正多面体の最小元素数＝４が確定する．

　ところが，デーンの定理の一般化による方法を４次元以上の正多面体に適用すると

　　４次元　　→最小元素数は２以上

　　５次元以上→ｎ＋１が平方数のとき最小元素数は２以上，それ以外では３

という煮えきらない結果しか得られない．

　この方法で証明できれは強い意味で証明できたことになり，かっこいいのであるが，牛刀割鶏の感あり．正多面体をどのように分解し接合しても元素数はこれ以上減らせないという最小元素数を求めるのに，細分化する元素数に上限を設けない分解合同は無用の長物ということになろう．

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【２】空間充填との関係

　菱形十二面体と直方体の間の立体蝶番返し，鼈臑型四面体の三角柱への組み換えなどは分解合同の例ですが，それは例外的なケースなのであって，多面体においては体積が等しくても分解合同でないものが存在します．それどころか，一般には同じ体積をもつ他の多面体には組み替えられないのです。

　ところで，分割合同であるための必要条件（Σｎδ＝０，ｍｏｄπ）と空間充填形ができるための必要条件は，ほぼ同じと考えられます．空間充填形ができるための必要条件は，二面角δが４直角の整数分の１であることです（Σｎδ＝２π）．菱形十二面体，直方体，鼈臑型四面体などが分解合同であるのは二面角δが４直角の整数分の１であるためです．

　空間充填の必要条件はデーン不変量を弱めたものであるので，空間充填との関係から弱い意味での証明の方が，細分化する元素数の上限が正多面体数である場合の最小元素数の決定に適していることが理解されます．正多面体の元素定理が「空間充填」と「分解合同」の中間に位置しているとは，このような意味からです．

　１種類の正多胞体による空間充填形をまとめると，平面充填形３種類（正三角形，正方形，正六角形），３次元空間充填形１種類（立方体），４次元空間充填３種類（８胞体，１６胞体，２４胞体），５次元以上の空間充填形は１種類（超立方体）ということになります．

　もし，複数使ってよければ，３次元では正四面体と正八面体の組み合わせ，８次元では８次元正単体と８次元正軸体を組み合わせたものだけが空間を充填します．４次元の正５胞体＋正１６胞体＋正６００胞体も二面角の和が２πですか，これは空間充填形ではありません．

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【３】強い意味での証明から弱い意味での証明へ

　もちろん，３次元の場合でも，弱い意味での証明は可能です．実際，ＲＴ，正四面体，正十二面体，正二十面体で元素数４の例が構成できる根拠を示すと

　　正四面体＋４ＲＴ→立方体

　　８ＲＴ→正八面体

ですから

　　２正四面体＋正八面体→２立方体

となって，元素数は１減します．

　４次元の場合も４種類の元素（ＲＰ，正５胞体，正６００胞体，正１２０胞体）があればすべての４次元正多胞体を構成できることを示すことができます．

　　正１６胞体＋８ＲＰ→正８胞体

　　１６ＲＰ→正１６胞体，２４ＲＰ→正８胞体，１９２ＲＰ→正２４胞体

となって，元素数は２減します．こうして

　　８×８胞体←→１２×１６胞体←→２４胞体

の解体再編が成り立つのです．

　５次元以上の空間では，直角三角錘ＲＮを２^n-1個を取り除くと正多面体にならず，１種の準正多面体になるので，８次元の場合だけが問題となるのですが，

　　１７２８０×正単体＋２１６０×正軸体→超立方体ではない亜正多面体

となって，超立方体には解体再編されません．よって，ｎ（≧５）次元正多面体の元素数は３であることが確定するのです．

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