三角関数を一般化したものとしては楕円関数が代表的ですが，今回のコラムではもう一つ別の方向の一般化である多重三角関数についてまとめてみることにします．
［参］黒川信重・小山信也「多重三角関数論講義」日本評論社
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【１】オイラーと三角関数
オイラーは三角関数ｓｉｎｘの零点が０，±π，±２π，±３π，・・・であることから三角関数を因数分解して，無限乗積
ｓｉｎｘ＝ｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2π^2）
ｓｉｎ（πｘ）＝πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）＝π／Γ（ｘ）Γ（１−ｘ）
を得ました．
ｓｉｎｘの無限乗積とベキ級数展開（テイラー展開）
ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・
を用いれば，偶数ゼータの値
ζ（２）＝π^2／６，ζ（４）＝π^4／９０，ζ（６）＝π^6／９４５，ζ（８）＝π^8／９４５０，・・・
が得られます．
Ｓ1（ｘ）＝２ｓｉｎ（πｘ）＝２πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）＝（ｅｘｐ（πｉｘ）−ｅｘｐ（−πｉｘ））／ｉ
と定義すると，ｎ分値，２ｎ分値に関して
ΠＳ1（ｋ／２ｎ）＝ｎ^(1/2) (k=1~n-1)
ΠＳ1（ｋ／ｎ）＝ｎ (k=1~n-1) （→楕円関数への一般化がある）
が成り立ちます．
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【２】ヘルダーの２重三角関数
ヘルダーは１８８６年に２重三角関数
Ｓ2（ｘ）＝ｅｘｐ（∫(0,x)πｔｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）
＝ｅｘｐ（ｘ）Π（（１−ｘ／ｎ）／（１＋ｘ／ｎ））^nｅｘｐ（２ｘ）
を研究しました．
ｎ→∞のとき，
（１−ｘ／ｎ）^n→ｅｘｐ（−ｘ）
（１＋ｘ／ｎ）^n→ｅｘｐ（ｘ）
（（１−ｘ／ｎ）／（１＋ｘ／ｎ））^nｅｘｐ（２ｘ）→１
となることはは容易に理解されるところですが，三角関数の一般化になっているかどうか直ちにはわかりません．
∫(0,x)πｃｏｔ（πｔ）ｄｔ＝ｌｏｇ（ｓｉｎπｘ）
より
Ｓ1（ｘ）＝２ｅｘｐ（∫(0,x)πｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）
また，
Ｓ2（ｘ）＝ｅｘｐ（∫(0,x)πｔｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）
と表示されますから，三角関数の類似物になっていることがおわかりいただけるでしょう．この関数は初等関数では表すことができません．
新谷卓郎は１９７７年に２重三角関数の一般論の研究をしました．
Ｆ（ｚ，ω1，ω2）＝Π（（１−ｚ／（ｎ1ω1＋ｎ2ω2）／（１＋ｚ／（ｎ1ω1＋ｎ2ω2））
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【３】黒川の３重三角関数・多重三角関数
黒川先生はヘルダーの研究にならって，２０年ほど前から３重三角関数
Ｓ3（ｘ）＝ｅｘｐ（∫(0,x)πｔ^2ｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）
＝ｅｘｐ（ｘ^2／２）Π（１−ｘ^2／ｎ^2）^n^2ｅｘｐ（ｘ^2）
を導入しています．
ｎ→∞のとき，（１−ｘ^2／ｎ^2）^n^2→ｅｘｐ（−ｘ^2）
ですから
（１−ｘ^2／ｎ^2）^n^2ｅｘｐ（ｘ^2）→１
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一般のｒ≧２に対しては
Ｓr（ｘ）＝ｅｘｐ（（ｘ^r−１／（ｒ−１））Π｛Ｐr（ｘ／ｎ）Ｐr（−ｘ／ｎ）^(-1)^(r-1)｝^n^(r-1)
Ｐr＝（１−ｘ）ｅｘｐ（ｘ＋ｘ^2／２＋・・・＋ｘ^r／ｒ）
で定義するのですが，正規化のための係数を除けば
ｅｘｐ（∫(0,x)πｔ^(r-1)ｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）
という別表示をもっています．この関数（多重サイン関数）は初等関数では表されません．
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【４】多重三角関数の性質
多重三角関数については興味深いことがいろいろと知られていて，いくつかの特徴的な性質を有しています．
(1)対称性
Ｓ1（−ｘ）＝−Ｓ1（ｘ）
Ｓ2（−ｘ）＝Ｓ2（ｘ）^(-1)
Ｓ3（−ｘ）＝Ｓ3（ｘ）
(2)周期性
Ｓ1（ｘ＋１）＝−Ｓ1（ｘ）
Ｓ2（ｘ＋１）＝−Ｓ2（ｘ）Ｓ1（ｘ）
Ｓ3（ｘ＋１）＝−Ｓ3（ｘ）Ｓ2（ｘ）^2Ｓ1（ｘ）
(3)２分値
Ｓ1（１／２）＝２
Ｓ2（１／２）＝２^(1/2)
Ｓ3（１／２）＝２^(1/4)ｅｘｐ（−７ζ(3)／８π^2）
ここで，
Ｓ1（１／２）＝２
は
Σζ(2m)／m4^m＝ｌｏｇ（π／４）
Ｓ2（１／２）＝２^(1/2)
はオイラー積分
I=∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2
の言い替えになっています．
オイラーは，フーリエ展開といわれるずっと前に
log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2
であることをつきとめ，これを代入して計算すれば
1/1^3+1/3^3+1/5^3+･･･=π^2/4log2+2∫(0,π/2)xlog(sinx)dx
ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx
Ｓ3（１／２）＝２^(1/4)ｅｘｐ（−７ζ(3)／８π^2）
ζ(3)＝８π^2／７ｌｏｇ（２^(1/4)／Ｓ3（１／２））
はその言い換えになっているというわけです．
さらに，ゼータ関数の特殊値との関連では，Ｓ1（１／２）＝２より
ζ(5)＝３２π^4／９３ｌｏｇ（Ｓ5（１／２）２^(11/112)／Ｓ3（１／２）^(9/14)）
ζ(2m+1)＝（有理数）π^2mｌｏｇ（ΠＳk（１／２）２^(有理数)）
(4)ｎ分値
ΠＳ1（ｋ／ｎ）＝ｎ
ΠＳ2（ｋ／ｎ）＝ｎ^(1/2)
テータ関数やアイゼンシュタイン級数の性質，たとえば，
Ｅk(z+1)＝Ｅk(z) （周期性）
Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z) （双対性）
の双対性の代わりに対称性が加わったもの（半保型性？）といってもよいかもしれません．
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［補］ゼータとポリログ関数
ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx
の∫(0,π/2)xlog(sinx)dxはログサイン積分とも呼ぶべきものですが，ここでゼータ関数に関係するポリログ関数（polylogarithm）を導入することにしましょう．
ポリログ関数は
ジログ関数（アーベル・ロジャース・スペンス関数）：
Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt
Ｌn+1(x)＝∫(0,x)Ｌn(t)/tdt
のように積分で定義される関数（積分関数）ですが，
トリログ関数：Ｌ3(x)=Σx^3/n^3，
テトラログ関数：Ｌ4(x)=Σx^4/n^4，
ペンタログ関数：Ｌ5(x)=Σx^5/n^5，
・・・・・・・
などを総称してポリログ関数と呼びます．
特に
Ｌn(1)＝(-1)^(n-1)/(n-1)!∫(0,1){log(t)}^(n-1)/(1-t)dt
＝ζ(n)
より，Ｌn(1)はゼータ関数の特殊値となります．
ポリログ関数の公式を用いると，オイラーの等式
ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx
に相同な等式
Ｌ3(1)＝ζ（3）＝5/4Ｌ3(φ^(-2))+2π^2/15logφ-2/3(logφ)^3
φ＝（１＋√５）／２
を得ることができます．
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［補］その他の多重化関数
多重ゼータ関数，多重ガンマ関数，多重ポリログ関数などについてはよく知らないのですが，いずれも多変数化したものを指すようです．
したがって，多重ガンマ関数とポリガンマ関数はまったく別物です．ガンマ関数の対数微分であるジガンマ関数φ（ｘ）は
φ（ｘ）＝ｄ／ｄｘ｛ｌｏｇΓ(x)｝=Γ'(x)/Γ(x)
で定義されます．また，その逐次導関数φ’（ｘ），φ”（ｘ），・・・，φ(k)（ｘ），すなわち，トリガンマ関数，テトラガンマ関数，ペンタガンマ関数などを総称してポリガンマ関数と呼びます．
なお，ガンマ関数にも多重サイン関数のような無限積表示
Γ（ｘ）＝∫(0,∞)t^(x-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ
＝１／ｘΠ（１＋１／ｎ）^x（１＋ｘ／ｎ）^(-1)
が知られています．
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