1/(1^2+4) + 1/(2^2+4) + 1/(3^2+4) + 1/(4^2+4) + ・・ ＝- 1/8 + (π/4)・(e^(4π)+1)/(e^(4π)-1)
前回、この“ゼータの香りの漂う式”を導いたが、今回はより一般的な次の三式を導いた。（aは任意の実数）
1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+ a^2) + ・・ ＝- 1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1) ------P1
1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2) + ・・ ＝(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1) ------P2
1/(2^2+a^2) + 1/(4^2+ a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(8^2+ a^2) + ・・ ＝- 1/(2a^2) + (π/(4a))・(e^(aπ)+1)/( e^(aπ)-1) ------P3
P1式でa=2とした場合が冒頭の式になるのはすぐにわかるであろう。今回はこれら三式の導出過程を示したい。方法の概要は、フーリエ級数
(π-x)/2＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ ( 0 < x < 2π)
を出発点としてこの両辺に∫(0～x) e^(ax) を作用させ得られた式でx=2πを代入するとP1式になり、x=πを代入するとP2式とP3式が導出される、ということになる。前回は∫(0～x) e^(-2x)を用いて冒頭の式を得たが、じつは∫(0～x) e^(-2x)でも∫(0～x) e^(2x)でもどちらでも全く同じ式が得られる。つまり∫(0～x) e^(-ax)でも∫(0～x) e^(ax)でも同じなのである。そこで今後は簡明な∫(0～x) e^(ax)を使っていくことにする。早速、P1～P3式の導出過程を示そう。まずP1式から。
［P1式の導出］
フーリエ級数
(π-x)/2＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ ----①
( 0 < x < 2π)
を出発点とする。①の左右両辺に作用素∫(0～x) e^(ax) を作用させて(後ろにdxは付く)、求めていく。
まず①の左辺に∫(0～x) e^(ax)を作用させる。
∫(0～x) e^(ax)・(π-x)/2 dx=((x-π)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2) ―---②
次に①の右辺に着目する。まずsin(nx)/n に作用素を適用すると（部分積分を２回行って）
∫(0～x) e^(ax)・(sin(nx)/n) dx= a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2)) - con(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) + 1/(n^2+a^2) ----③
となる。①の右辺のすべての各項に項別積分を適用して次を得る。
∫(0～x) e^(ax)・∑(n=1～∞) (sin(nx)/n) dx =∑(n=1～∞)｛1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) - a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))｝ ----④
①の両辺に∫(0～x) e^(ax)を作用させた結果が②と④であるから②=④となって、
((x-π)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2) =∑(n=1～∞)｛1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) - a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))｝ ----⑤
ここで⑤のxに2πを代入して整理すると次のようになる。（これは∫(0～x) e^(ax)の積分範囲(0～x)を(0～2π)として計算したことと同じである。もちろんはじめから直接的に∫(0～2π) e^(ax) と計算してもよい。）
1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+a^2) + 1/(3^2+a^2) + 1/(4^2+a^2) +・・＝- 1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/(e^(2aπ)-1)
P1式が得られた。
［終わり］
次にP2式、P3式を導く。
［P2式、P3式の導出］
途中まではP1式の過程と同じである。⑤までは同じであるから、まず⑤を記す。
((x-π)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2)) =∑(n=1～∞)｛1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) - a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))｝ ----⑤
このxに2πを代入するとP1式が得られたわけだが、ここではx=πを代入する。すると次のようになる。
(e^(aπ)+1)｛1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+a^2) + 1/(5^2+a^2) + ・・｝ - (e^(aπ)-1)｛1/(2^2+a^2) + 1/(4^2+a^2) + 1/(6^2+a^2) + ・・｝= -π/(2a) + (e^(aπ)-1)/(2a^2)
ここで、A=｛1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+a^2) + 1/(5^2+a^2) + ・・｝， B=1/(2^2+a^2) + 1/(4^2+a^2) + 1/(6^2+a^2) + ・・
とおくと
(e^(aπ)+1)A - (e^(aπ)-1)B= -π/(2a) + (e^(aπ)-1)/(2a^2) ----⑥
ここで一つ上で導いたP1（次式）も利用する。
1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+ a^2) + ・・ ＝- 1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)
この左辺をよく見ると、A+Bとなっていることがわかるから、
A + B = - 1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1) ----⑦
⑥、⑦はAとBに関する連立方程式となっているから、これを解いて次を得る。
A = (π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1) ， B = - 1/(2a^2) + (π/(4a))・(e^(aπ)+1)/( e^(aπ)-1)
すなわち、次のようになる。
1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2) + ・・ ＝(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1)
1/(2^2+a^2) + 1/(4^2+ a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(8^2+ a^2) + ・・ ＝- 1/(2a^2) + (π/(4a))・(e^(aπ)+1)/( e^(aπ)-1)
冒頭のP2とP3が求まった。
［終わり］
1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+ a^2) + ・・ ＝- 1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1) ------P1
1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2) + ・・ ＝(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1) ------P2
1/(2^2+a^2) + 1/(4^2+ a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(8^2+ a^2) + ・・ ＝- 1/(2a^2) + (π/(4a))・(e^(aπ)+1)/( e^(aπ)-1) ------P3
今回はこの三式を導いたわけだが、全て (π-x)/2＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ という単純なフーリエ級数から得られた点にまず注目いただきたい。それに∫(0～x) e^(ax) を作用させ得られた⑤式のxに2πを代入するとP1が、πを代入するとP2とP3が得られたのであった。では、xにπ/2やπ/3を代入すると、どのような式が導出されるのだろうか？ それは次回調べることにする。 （杉岡幹生）
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