ポンスレーの定理は四角形に限らず，一般のｎ角形についても成り立つ．また，２つの円を２つの楕円ばかりか，どんな円錐曲線に置き換えても成立する．

　（その１０），（その１１）において，解析幾何学を用いると

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

は大学入試程度の問題に還元できることがわかった．

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

に引き続き，フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけているが，その論文（Nova Acta Petropol XIII, 1798）を入手するのは難しそうである．そこで，今回のコラムでは，解析幾何学を用いて，双心五角形，六角形，七角形，八角形，（九角形，十角形，・・・）の場合を扱ってみたい．

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【１】アルゴリズム

　外接円：ｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2

上の２点を（ｘk，ｙk），（ｘk+1，ｙk+1）とおく．

　　ｘk^2＋ｙk^2＝Ｒ^2

　　ｘk+1^2＋ｙk+1^2＝Ｒ^2

　この２点を結ぶ直線：

　　ｙ−ｙk＝ｍk（ｘ−ｘk），ｍk＝（ｙk+1−ｙk）／（ｘk+1−ｘk）

が，

　　内接円：（ｘ−ｄ）^2＋ｙ^2＝ｒ^2

に接することから，判別式＝０とおいて，

　　｛ｄ＋ｍk（ｍkｘk−ｙk）｝^2−（１＋ｍk^2）｛ｄ^2＋（ｍkｘk−ｙk）^2−ｒ^2｝＝０が得られる．

　初期値（ｘ0，ｙ0）＝（Ｒ，０）から始まって，（ｘ1，ｙ1），（ｘ2，ｙ2），・・・が満たす連立方程式を求める．

［１］ｘk+1＝ｄ−ｒとなるときの（Ｒ，ｒ，ｄ）の関係式を求める．

　　ｋ＝０（ｎ＝３）

　　ｋ＝１（ｎ＝５）

　　ｋ＝２（ｎ＝７）

　　ｋ＝３（ｎ＝９）

［２］ｘk+1＝−Ｒ，ｙk+1＝０となるときの（Ｒ，ｒ，ｄ）の関係式を求める．

　　ｋ＝１（ｎ＝４）

　　ｋ＝２（ｎ＝６）

　　ｋ＝３（ｎ＝８）

　　ｋ＝４（ｎ＝１０）

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【２】確認

　任意の凸ｎ角形において，不等式

　　ｒ／Ｒ≦ｃｏｓ（π／ｎ）

等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立つ．ｄ＝０とおいたとき，

　　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（π／ｎ）

であれば，正解が得られていることが確認できる．

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

はいわば「余弦定理」に相当するものであって，「ピタゴラスの定理」に相当する公式も存在する．それらはｄ＝０とおいて，それぞれＲ＝２ｒ，Ｒ＝√２ｒになる．

　なお，

　　ｄ＜Ｒ−ｒ

であるから

　　ｄ／Ｒ＜１−ｒ／Ｒ＝１−ｃｏｓ（π／ｎ）

したがって，中心間距離ｄはｎが大きくなるにつれて，次第に小さくなることがわかるだろう．

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【３】計算結果

　阪本ひろむ氏にお願いして，インプリメントしてもらったのであるが，あまりにも高次の式・複雑な式になりすぎて，ｎ＝１の場合しかうまくいっていない．氏いわく「がんばってみるが，ひとえにグレブナー基底と消去論の勉強不足」

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