次の式はゼータ（ゼータ関数）の香りの漂う式といえる。

　1/(1^2+4) + 1/(2^2+4) + 1/(3^2+4) + 1/(4^2+4) + ・・

　ゼータの香りの漂う式はゼータ(ζ)の式に負けないくらい優雅なものである。「数論�T」（加藤和也、黒川信重、斎藤毅 著、岩波書店）p.93には上記のような式に対して「ζのかおりが漂っている」と書かれている。これを書いたのはおそらく言語感覚に優れた加藤和也さん（シカゴ大学教授）ではないかと推測するが、抜群のネーミングだと思う。

　さて、上記はいったいどんな値になるであろうか？その答えは、

1/(1^2+4) + 1/(2^2+4) + 1/(3^2+4) + 1/(4^2+4) +・・＝- 1/8 + (π/4)・(e^(4π)+1)/(e^(4π)-1)

となる。今回初等的にこの結果を出すことができたので報告したい。

［導出過程］

　フーリエ級数

　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ 　　　 　 ----�@

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( 0 < x < 2π)

を出発点とする。�@の左右両辺に作用素∫(0〜x) e^(-2x) を作用させて(後ろにdxは付く)、求めていく。

まず�@の左辺に∫(0〜x) e^(-2x)を作用させる。

∫(0〜x) e^(-2x)・(π-x)/2 dx=((x-π)/4)・e^(-2x) + π/4 + (1/8)e^(-2x) - 1/8 　 ----�A

次に�@の右辺に着目する。まずsin(nx)/n　に作用素を適用すると（部分積分を２回行って）

∫(0〜x) e^(-2x)・(sin(nx)/n) dx= -2sin(nx)・e^(-2x)/(n(n^2+4)) - con(nx)・e^(-2x)/(n^2+4) + 1/(n^2+4)　 　 　 ----�B

となる。�@の右辺のすべての各項に項別積分を適用して次を得る。

∫(0〜x) e^(-2x)・��(n=1〜∞) (sin(nx)/n) dx =��(n=1〜∞)｛1/(n^2+4) - cos(nx)・e^(-2x)/(n^2+4)　- 2sin(nx)・e^(-2x)/(n(n^2+4))｝ 　 ----�C

�@の両辺に∫(0〜x) e^(-2x)を作用させた結果が�Aと�Cであるから�A=�Cとなって、

((x-π)/4)・e^(-2x) + π/4 + (1/8)e^(-2x) - 1/8 =��(n=1〜∞)｛1/(n^2+4) - cos(nx)・e^(-2x)/(n^2+4)　- 2sin(nx)・e^(-2x)/(n(n^2+4))｝　 ----�D

　ここで�Dのxに2πを代入して次を得る。（これは�@の成立範囲が0 < x < 2πであることを考えて作用素∫e^(-2x)の積分範囲を0〜2πとして計算したことと同じである。もちろんはじめから直接的に∫(0〜2π) e^(-2x)・f(x) dxと計算してもよい。）

　(π/4)e^(-4π)　+π/4 + (1/8)・e^(-4π) - 1/8 = (1-e^(-4π))｛1/(1^2+4) + 1/(2^2+4) + 1/(3^2+4) + 1/(4^2+4) +・・｝

整理して、

　1/(1^2+4) + 1/(2^2+4) + 1/(3^2+4) + 1/(4^2+4) +・・＝- 1/8 + (π/4)・(e^(4π)+1)/(e^(4π)-1)

を得る。

［終わり］

「数学公式�U」（一松信 他著、岩波書店）には、��1/(n^2+a^2)=-1/(2a^2) + (π/(2a))coth(aπ)　とあり、これから今回の結果は直ちに出る。しかし、導出方法は？となると皆目見当がつかない。今回初等的に導くことができたわけである。

　さらに重要なことは、積分範囲0〜xのxをπ、π/2、π/3、π/4・・などと変えることよって、公式集を飛び越えた、ゼータL(χ,s)の香りの漂う式がつぎつぎに生み出されていくのである。それらは追って報告したい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　2010/10/21　　　　杉岡幹生

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