正多面体の元素定理が「空間充填」と「分解合同」の中間に位置していることを理解されたい．
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【１】空間充填の必要条件との関係
多面体Ｐに対し二面角をδiとすると，デーン不変量δ（Ｐ）はすべての辺で二面角の和をとり，ｍｏｄ πで還元したものとして定義される．
δ（Ｐ）＝Σｎδ （ｍｏｄ π）
３次元正多面体の場合，δ4＋δ8＝π，δ6＝π／２であるから
Ｎ1δ4＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０ （ｍｏｄ π）
とより簡潔に書くことができる．これは，デーンの定理（１９０１年）
Ｎ1δ4≠０ （ｍｏｄ π）
の一般化に他ならない．
これか証明されたことから，３次元正多面体の元素数は≧４であるという強い意味での結論が主張できた．しかし，４次元以上ではＱ線形性の意味での強い証明は困難であった．強い証明が可能であればそれに越したことはないが，そうは問屋が卸さないのである．
ところで，空間充填の必要条件は，一辺の回りの二面角の和が３６０°となることである．
Σｎδ＝２π
これはデーン不変量を弱めたものであることがわかるだろう．
そこで，空間充填の面から（弱い意味で）正多胞体の元素定理をみてみることにしよう．３次元の一種類の合同な正多面体による空間充填では立方体だけが空間充填形なのであるが，もし２種類以上を使ってよければ，正四面体と正八面体の二面角が互いに補角であるから，両者を組み合わせて空間充填が可能になる．正多面体同士の組合せでは，正四面体と正八面体を組み合わせたものだけが空間を充填するのである．
［１］単一種による空間充填の例
［２］複数の種類による空間充填例
［３］非空間充填例
と分類すると，３次元では
［１］立方体
［２］正四面体＋正八面体
［３］正１２面体，正２０面体
の４群，４次元では
［１］８胞体，１６胞体，２４胞体（これらはどれもＲＰから構成できる）
［２］なし
［３］５胞体，１２０胞体，６００胞体
の４群，５次元では
［１］１０房体（５次元立方体）
［２］なし
［３］６房体（５次元正四面体），３２房体（５次元正八面体）
の３群となる．
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超立方体は各次元で空間充填形［１］である．［２］の空間充填形として２種の胞間の角の和が３６０°になるのは，ｎ≧５のとき，８次元の
［１］８次元立方体
［２］８次元正四面体＋８次元正八面体
［３］なし
の場合だけであることがわかっている．８次元では２群であるから，８次元における正多面体の元素数は２以上であるが，実際に正軸体と正単体から超立方体を構成するのは無理ということがわかった．
もし，８次元正多胞体の元素数が２であるならば，
［１］８次元立方体と８次元正四面体の両者を共通の片から構成する
［２］８次元立方体と８次元正八面体の両者を共通の片から構成する
［３］８次元正四面体と８次元正八面体の両者を共通の片から構成する
というのは，両者のデーン不変量が異なるから無理である．したがって，元素数が２であると仮定すると矛盾を生じるので，元素数は３となる．
なお，８次元でなく，３次元の場合であっても
［４］３次元正四面体と３次元正八面体の両者を共通の片から構成する
ことは，両者のデーン不変量が異なるから無理である．
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【２】４次元正多面体の元素数
二胞角
５胞体 δ1＝ａｒｃｃｏｓ（１／４）
８胞体 δ2＝π／２
１６胞体 δ3＝２π／３
２４胞体 δ4＝２π／３
１２０胞体 δ5＝４π／５
６００胞体 δ6＝ａｒｃｃｏｓ（−（１＋３√５）／８）
８胞体，１６胞体，２４胞体はいずれも空間充填多面体であって，そのデーン不変量はすべて等しい（０である）．実際，
８×８胞体←→１２×１６胞体←→２４胞体
の解体再編が成り立つ．
しかし，１２０胞体は二面角が直角と有理比ではあっても２πの整数分の１ではないので，空間充填多面体ではない．すなわち，８胞体，１６胞体，２４胞体の（デーンとは異なる意味での）不変量とは異なる．
また，δ1＋δ6＝４π／３（→δ1＋δ3＋δ6＝２π）であるが，
ｎ1δ1＋ｎ2δ2＋ｎ3δ3＋ｎ4δ4＋ｎ5δ5＋ｎ6δ6≠０ （ｍｏｄ π）
にδ6＝４π／３−δ1を代入して，δ6を消去し
Ｎ1δ1＋Ｎ2δ2＋Ｎ3δ3＋Ｎ4δ4＋Ｎ5δ5≠０ （ｍｏｄ π）
とするのは錯覚である．δ1＋δ6＝４π／３も直角と有理比ではあっても，２πの整数分の１ではなく，８胞体に解体再編されないというのがその理由である．
したがって，８胞体に解体再編されるかどうかでもってラベルすると
二胞角
５胞体 Ａ
８胞体 Ｂ
１６胞体 Ｂ
２４胞体 Ｂ
１２０胞体 Ｃ
６００胞体 Ｄ
の４群ということになる（元素数４以上）．
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【３】ｎ（≧５）次元正多面体の元素数
二胞角
正単体 δ1＝ａｒｃｃｏｓ（１／ｎ）
超立方体 δ2＝π／２
正軸体 δ3＝ａｒｃｃｏｓ（−（ｎ−２）／ｎ）
超立方体の二胞角はつねにπ／２で，何次元であっても空間充填形になる．正単体の二胞角はｎ＝２以外には２πの整数分の１にならないので，ｎ≧５では正単体による充填形はできない．正軸体の二胞角はｎ＝２，ｎ＝４以外には２πの整数分の１にならないので，同じことがいえる．
したがって，
二胞角
正単体 Ａ
超立方体 Ｂ
正軸体 Ｃ
の３群ということになる（元素数３以上）．
少し気にかかるのは８次元の場合である．ｎ≧５のとき，８次元の場合だけ
δ1＋２δ3＝２π
なる関係が成立するが，このときも直角と有理比ではあっても，２πの整数分の１ではなく，超立方体に解体再編されない．実際，
１７２８０×正単体＋２１６０×正軸体→超立方体ではない亜正多面体
である．よって，ｎ（≧５）次元正多面体の元素数は３であることが確定する．
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【４】デーン不変量についての小括
デーン不変量は分割合同の分割線が辺の上にあるときはいいのであるが，３次元の正４面体と正８面体の組み合わせでは
δ4＋δ8＝π（これは空間充填形で，２πの整数分の１）
で分割線が面の上にあり立方体に解体再編されるため，どちらか一方を消去することができる．
４次元のδ1＋δ6＝４π／３＞π
→δ1＋δ3＋δ6＝２π＞π（これは空間充填形ではない），
８次元のδ1＋２δ3＝２π＞π（これは空間充填形ではあるが）
の場合，２πの整数分の１にならず分割線が内部にあることになり，超立方体に解体再編されない．そのため，消去できず独立と考えられるのである．
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【５】雑感
私自身，デーン不変量について誤解していたことを述べたが，誤解を生じさせた原因について，あらためて考えてみると
［１］いささか意外なことに，４次元正１２０胞体の二胞角は正確に１４４°で，正十角形の内角に等しい．
［２］４次元空間ですべて正四面体でできている正５胞体，正１６胞体，正６００胞体の３個の正多胞体の胞の間の角の和は３６０°である．
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これらの対策について調べてみると，
［１］１４４°と９０°とは有理数比になっているが，正１２０胞体は５回の回転対称性をもち，正８胞体に解体再編されない．
［２］胞の間の角の和が３６０°になることは充填形の必要条件であるが，十分条件とは限らない．実際，正５胞体，正１６胞体，正６００胞体の３個の正多胞体の組み合わせでは充填形はできない．それは正６００胞体は５回の回転対称性をもち，古典的結晶学の充填群と合わないせいである．
二胞角が直角と有理比になるかどうかでラベルすると
二胞角
５胞体 Ａ
８胞体 Ｂ
１６胞体 Ｂ
２４胞体 Ｂ
１２０胞体 Ｂ
６００胞体 Ａ
の２群となるが，［１］［２］のことから２πの整数分の１になるかどうかで元素数の下限を決定するほうが簡単かつ有用である．
４次元デーン不変量は８胞体に解体再編されるかどうかの指標であって，したがって，８胞体に解体再編されるかどうかでもってラベルすると
二胞角
５胞体 Ａ
８胞体 Ｂ
１６胞体 Ｂ
２４胞体 Ｂ
１２０胞体 Ｃ
６００胞体 Ｄ
の４群ということになる（元素数４以上）．
正多面体の元素定理が「空間充填」と「分解合同」の中間に位置していることが理解されただろうか？
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