平行移動と反転だけで平面を敷き詰めることができる正多角形は，正三角形・正方形・正六角形しかないが，正という条件を外し，また回転も許すことにすると

［１］非凸図形も含め，どのような三角形・四角形でもタイル貼り可能

［２］五角形・六角形ではタイル貼り可能なものが存在する

［３］七角形以上の凸図形で，タイル貼り可能なものは存在しない

　タイル貼り可能な凸六角形について，１９１８年にラインハルトが正六角形以外では３つのタイプを発表し，これ以外に存在しないことが証明されている．タイル貼り可能な凸五角形については現在１４種類が発見されているが，これら以外に存在しないのかどうかは未解決である．平面充填可能な凸五角形を完全網羅することが最終目標になっているのである．

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　ところで，正五角形だけを使ってタイル貼りする場合，どうしても隙間が残ってしまう．正五角形を１０枚丸く並べるとちょうどひとつの輪になり，正１０角形の隙間が残る（デューラー・パターン）．また，正五角形を５枚を星形５角形の隙間が残るように並べることもできる（ケプラー・パターン）．正１０角形の隙間に可能な限り正五角形を詰め込むと，菱形や星形５角形の隙間が残る非周期的な平面充填ができあがる（ペンローズ・パターン）．これらは太陽と星を模していると思われる．

　ともあれ平面上で正五角形を配列させるとどうしても隙間を生ずるのであるが，菱形の隙間を別種のタイルとして２種類のタイルを使った平面充填と考えることもできる．また，正五角形の規則的な配列によって隙間の面積を最小にしたタイル貼りデザインでは，各正五角形は他の６つの正五角形と接している．

　正五角形タイル貼りの隙間をうまく調節すれば，新種の五角形タイルを実現することもできるかも？

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