【１】三角不等式

　三角不等式というと「三角形の２辺の和は他の１辺より長い」が思い起こされますが，与えられた三角形の外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒとおくと，

　　Ｒ≧２ｒ

となることを主張する，もうひとつの三角不等式を証明してみることにしましょう．

（問題）Ｒ≧２ｒ　　　等号は正三角形のときに限る．

（証明）

　外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2が成り立ちます（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

　ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

　ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

　外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表すと，

　　ａｂｃ＝４ＲΔ　　　　　　　（正弦定理）

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２Δ　　　（寄木細工定理）

ここで，

　　ｓ1＝ａ＋ｂ＋ｃ，

　　ｓ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，

　　ｓ3＝ａｂｃ

とおくとき，Ｒ≧２ｒは

　　ｓ1ｓ3≧１６Δ^2

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3≧０

と同値．

　実際にやってみると

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3＝１／２［（ｂ−ｃ）^2（ｂ＋ｃ−ａ）＋（ｃ−ａ）^2（ｃ＋ａ−ｂ）＋（ａ−ｂ）^2（ａ＋ｂ−ｃ）］≧０

ｂ＋ｃ−ａ＞０，ｃ＋ａ−ｂ＞０，ａ＋ｂ−ｃ＞０ですから，等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限ることがわかります．

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　とはいってもこれを計算で出すのは大変ですし，この方法で高次元への拡張がうまくいくとはとても思えません．そこで，簡単な補助定理

ａ）ｎ次元球に内接および外接するすべての単体のなかで正則単体はそれぞれ最大および最小の体積をもっていること

ｂ）一様な棒の重心は両端の間の距離を１：１に，三角形の重心は中線を２：１に，四面体の重心は頂点と向かいあう面の重心との距離を３：１に内分します．すなわち，四面体の重心は１つの面の重心から対頂点に引いた直線の１／４の点にあること，・・・

を使うことによって，以下の不等式が得られます．

　三角不等式：Ｒ≧２ｒは３次元空間へも拡張できて，４面体では

　　Ｒ≧３ｒ　　　（４面体不等式）

三角形の重心の性質は四面体に遺伝するのです．

　また，４次元以上でもこの規則性が失われることはありそうもなく，同様に類推されます．すなわち，ｎ次元単体でも同様に

　　Ｒ≧ｎｒ　　　（単体不等式）

が成り立ちます．一般に，体積が与えられた単体において，頂点からある任意の点までの距離の和は，その単体が正則でありかつその点が重心であるときに極小値に達します．

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【２】エルデシュの不等式

　三角不等式（Ｒ≧２ｒ）は，より一般的には「△ＡＢＣ内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3，各辺（またはその延長）までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧２（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）

等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐがその重心であるとき」

で与えられます．

　これが「エルデシュの定理」で，この定理はＲ≧２ｒの一般化であると考えられます．エルデシュの定理は，簡単に

　　Ａ（Ｒ）≧２Ａ（ｒ）

と書けますが，Ａは算術平均の略で，Ｒの算術平均≧２（ｒの算術平均）という意味です．

　エルデシュの定理は，算術平均Ａを調和平均Ｈ，幾何平均Ｇに置き換えても成り立ちます．すなわち，

　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3≧８ｒ1ｒ2ｒ3

　　１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3≧２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2＋１／Ｒ3）

　また，２次の基本対称式に対しては

　　Ｒ1Ｒ2＋Ｒ2Ｒ3＋Ｒ3Ｒ1≧４（ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1）

も知られています．この種の不等式は美しい．しかし，証明は難しい・・・．

　次に，三角形の代わりに４面体を用います．４面体のある内点から各面までの距離ｒ1，・・・，ｒ4，各頂点までの距離をＲ1，・・・，Ｒ4で表すことにします．

　一般に，三角形の重心の性質は四面体に遺伝するので，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧３（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）

となるはずですが，ところが，これが成立しないのです．

　４面体では

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧√８（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）

　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3Ｒ4≧８１ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4

であることが示されています．

　あとで，任意の多面体において，

　　Ａ（Ｒ）≧ＣＡ（ｒ）

の右辺の算術平均：Ａ（ｒ）をもっと小さな平均値，調和平均：Ｈ（ｒ）で置き換えることを試みますが，その前に，次項では多角形について成り立つ一般的な不等式を紹介することにします．

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【３】球殻不等式

　三角不等式は

　　Ｒ／ｒ≧２

とも書けるのですが，Ｒとｒは対称となる図形を外と内から押さえるものですから，Ｒ／ｒに関するこの不等式は「球殻不等式」と呼ぶこともできるでしょう．すなわち，Ｒ／ｒが最小となるもの（最小球殻）を求める問題と考えることができるのです．

　ｎ次元単体について，

　　Ｒ／ｒ≧ｎ

を示しましたが，ここでは次元を大きくするのではなく，辺数ｎを大きくしてｎ角形へ拡張してみましょう．そうすると，任意の凸ｎ角形において，不等式

　　Ｒ／ｒ≧ｓｅｃ（π／ｎ）

等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立ちます．

（証明）

　単位円に内接する凸ｎ角形の周長Ｌは

　　Ｌ＝２（ｓｉｎα1＋・・・＋ｓｉｎαn）

これより，

　　Ｌ≦２ｎｓｉｎ（π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｌ＝２（ｔａｎα1＋・・・＋ｔａｎαn）

　　Ｌ≧２ｎｔａｎ（π／ｎ）

　一般に，凸ｎ角形の面積Ｓ，周長Ｌ，内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの間には，次の不等式が成り立ちます．

　　２ｎｒｔａｎ（π／ｎ）≦Ｌ≦２ｎＲｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）

　等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立ちますから，定円に外接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最小であり，内接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最大となります．このことは直観的にも理解されるでしょう．

　以上より，

　　Ｒ／ｒ≧ｓｅｃ（π／ｎ）

が得られます．とくに，ｎ＝３の場合，ｓｅｃ（π／３）＝２より，

　　Ｒ／ｒ≧２　　　（三角不等式）

となります．

　これを，エルデシュの不等式のように，ｎ角形へ一般化すると，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋・・・＋Ｒn≧ｓｅｃ（π／ｎ）（ｒ1＋ｒ2＋・・・＋ｒn）

また，算術平均の代わりに幾何平均をとったとしても

　　Ｒ1Ｒ2・・・Ｒn≧ｓｅｃ^n（π／ｎ）ｒ1ｒ2・・・ｒn

が成り立ちます．

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　次に，多角形でなく，多面体の場合を考えてみるために，

　　ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６　　　ｎ≧３

を導入しておきます．球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となりますから，△n＝６ωn−πは単位球面が分割されてできる球面三角形の平均面積，また，球面正三角形の場合，２ωnは面積が６ωn−πの球面正三角形△nの１つの内角を表しています．

ａ）ｎ個の頂点またはｎ個の面をもつ凸多面体の内接球半径ｒおよび外接球半径Ｒの間には，球殻不等式

　　Ｒ／ｒ≧√３ｔａｎωn

が成立します．ｎ＝４のとき，ωn＝π／３．したがって，

　　Ｒ／ｒ≧３　　　（４面体不等式）

が得られます．

　これを一般化すると，

ｂ）単位球を含む，ｎ個の面をもつ３稜頂点多面体において，球の中心から各頂点までの距離をＲ1，・・・，Ｒ2n-4とすれば，

　　Ａ（Ｒ1，・・・，Ｒ2n-4）≧√３ｔａｎωn

ｃ）ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体が単位球に含まれるとき，球の中心から各面までの距離ｒ1，・・・，ｒ2n-4とすれば，

　　Ｈ（ｒ1，・・・，ｒ2n-4）≧１／√３ｃｏｔωn

ここで，Ａ，Ｈはそれぞれ算術平均，調和平均を表しているのですが，等号は５つの正多面体に対して成り立ちます．

　Ａ（Ｒ）／Ｈ（ｒ）≧√３ｔａｎωnは一般的に成り立ちませんが，しかし，Ａ（Ｒ，ｑ）をそれぞれの頂点における稜数ｑで重みづけをした算術平均，Ｈ（ｒ，ｐ）をそれぞれの面の辺数で重みづけした調和平均とすると，

ｄ）三角形面多面体において

　　Ａ（Ｒ，ｑ）／Ｈ（ｒ）≧√３ｔａｎωn

ｅ）３稜頂点多面体において

　　Ａ（Ｒ）／Ｈ（ｒ，ｐ）≧√３ｔａｎωn

が成り立ちます．

　これらの不等式は，頂点数ｖあるいは面数ｆの与えられた多面体に関する不等式でしたが，稜数がｅの凸多面体に対しては

ｆ）　Ｒ／ｒ≧√３ｔａｎ｛ｅ／（ｅ−３）・π／６｝

　等号は正４面体に対してのみ成り立つ．

ｇ）　Ｒ／ｒ≧ｔａｎ^2｛（ｅ＋２）／ｅ・π／２｝

は前式よりも一般的で精密で，等号は正４面体に対してのみ成り立ちます．

　凸多角形ではｖ−ｅ＝０でしたから，ｎ角形は必然的にｎ辺形になりましたが，凸多面体では

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

ですから，多角形の３次元空間への拡張は，頂点数ｖ，稜数ｅ，面数ｆがともに与えられることによって完全になります．そこで，多面体の平均面数，平均稜数をそれぞれ

　　ｐ~＝２ｅ／ｆ，ｑ~＝２ｅ／ｖ

とおくと，

　　ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）ｒ^2≦Ｓ≦ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（１−ｃｏｔ^2（π／ｐ~）ｃｏｔ^2（π／ｑ~）−１）Ｒ^2

　　ｅ／３ｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）ｒ^3≦Ｖ≦２ｅ／３ｃｏｓ^2（２π／ｐ~）ｃｏｔ（２π／ｑ~）（１−ｃｏｔ^2（π／ｐ~）ｃｏｔ^2（π／ｑ~））Ｒ^3

　同じ大きさの球に内接する正１２面体と正２０面体とでは，正１２面体の方が体積Ｖも表面積Ｓも大きい．−−−そんなばかなと思われるかもしれませんが，直感に反して，正１２面体は球の６６．５％，正２０面体は球の６０．６％を占めるのです．したがって，正多面体を球に内接させたとき最も球に近い正多面体は正１２面体です．一方，外接させれば体積も表面積も正２０面体の方が球に近くなります．

　これより，内接球半径，外接球半径をそれぞれｒ，Ｒとすれば，球殻不等式

ｈ）　Ｒ／ｒ≧ｔａｎ（π／ｐ~）ｔａｎ（π／ｑ~）

が導かれます．等号は正多面体に対して成り立つのですが，残念なことに，この式は証明が不完全で，予想にしかすぎません．

　また，これらをひとまとめにすると

ｉ）　Ａ（Ｒ，ｑ）／Ｈ（ｒ，ｐ）≧ｔａｎ（π／ｐ~）ｔａｎ（π／ｑ~）

も予想されるのですが，・・・．

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