【１】ポンスレーの定理

　小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．

　ポンスレーの定理では楕円積分に帰着させる微分積分学的な証明が知られている．また，ポンスレーの定理は２つの円を２つの楕円に置き換えても成立する．

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［補］シュタイナーの定理

　小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．

　２つの定理に共通する特徴は２つの円が同心円ならば自明であるということである．シュタイナーの定理はメビウス変換

　　ｗ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

により同心円の場合に帰着させて射影幾何学的に証明できるが，ポンスレーの定理ではそれができない．２つの非同心円は射影変換により同心円には変えられず，円と楕円になる．

　ポンスレーの定理の場合，直線を直線に移す円板の非ユークリッド幾何学的な変換が必要になるが，それは

　　ｘ’＝（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

　　ｙ’＝（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

という形の（実）変換である．

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【２】オイラーの定理とフースの定理

　ポンスレーの定理においてｎ＝３の場合，一方の円（半径Ｒ）に内接し，もう一方の円（半径ｒ）に外接する三角形は無数にある．これが成り立つための条件は２つの円の中心間距離をｄとして，

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

となることである（オイラーの定理）．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝２ｒが成り立つ．

　四角形やそれ以上のｎ角形についても同様の定理が成り立ち，ひとつの円に内接し，他の円に外接する四（ｎ）角形は無数にある．オイラーの定理のｎ角形版として，フースの定理が知られている．たとえば，内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

が成り立つ．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝√２ｒが成り立つ．

　双心四角形の２組の対辺上の内接円の接点を結ぶ線分は互いに直交する．また，フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけている．

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【３】オイラーの定理の証明

　解析幾何学を用いて，オイラーの定理

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

を示す．

　　外接円：ｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2

　　内接円：（ｘ−ｄ）^2＋ｙ^2＝ｒ^2

　どの点から始めても双心ｎ角形が得られるというポンスレーの閉包定理を用いて，点（Ｒ，０）を通る直線をｙ＝ｍ（ｘ−Ｒ）とおくと，この直線は内接円と接することから，

　　（ｘ−ｄ）^2＋ｍ^2（ｘ−Ｒ）^2＝ｒ^2

　　（１＋ｍ^2）ｘ^2−２（ｄ＋Ｒｍ）ｘ＋ｄ^2−ｒ^2＋ｍ^2Ｒ^2＝０

Ｄ＝０より，

　　ｍ^2＝ｒ^2／（（Ｒ−ｄ）^2−ｒ^2）

　また，この直線が外接円と交わる点のｘ座標はｘ＝ｄ−ｒであるから，

　　ｘ^2＋ｍ^2（ｘ−Ｒ）^2＝Ｒ^2

　　（ｄ−ｒ）^2＋ｍ^2（ｄ−ｒ−Ｒ）^2＝ｒ^2

この式に

　　ｍ^2＝ｒ^2／（（Ｒ−ｄ）^2−ｒ^2）

を代入して整理すると

　　ｒ^2＝（Ｒ−ｒ）^2−ｄ^2

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

が得られる．

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