（その２６）の結果について，一松信先生よりお手紙を頂いたので，紹介したい．結論自体は小生のものと同じであるが，もっと精密に論じているからである．

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　ＲＰ（立方体の端欠）と超立方体の基本単体とはよく似ていますが，３次元以上では本質的に別の立体です．４次元の場合は特に二胞角が直角の有理数倍ですが，胞（３次元多面体）の二面角は必ずしも有理比ではなく，両者は分解合同ではないようです．したがって，基本単体あるいはその切半体からＲＰを組み立てることが可能かどうか，疑問に感じます．

　とりあえず私（一松）の計算した図形の形を記しておきます．

ｎ＝２のとき，両者とも直角二等辺三角形だが，これは例外的．

ｎ＝３のとき，ともに四面体だが，次のように構造が違う．

［１］ＲＴ

　　面：直角三角形（３），正三角形（１）

　　二面角：直角（３），θ＝ａｒｃｃｏｓ１／√３（３）

　　辺長：１（３），√２（３）

［２］基本単体

　　面：直角二等辺三角形（３），辺の比１：√２：√３の三角形（２）

　　二面角：直角（３），４５°（２），６０°（１）

　　辺長：１（３），√２（２），√３（１）

［注］基本単体を組み合わせてみてもＲＴはできない（正四面体と正八面体の違い）．正四面体に二面角α3＝ａｒｃｃｏｓ１／３に対して，２θ＋α3＝１８０°だが，θ，α3は直角と有理比でなく，互いに有理比でもない．

ｎ＝４のとき

［１］ＲＰ

　　胞：３次元のＲＴ（４），正四面体（１）

　　二胞角：直角（６），６０°（４）

　　面：直角二等辺三角形（６），正三角形（４）

　　辺長：１（６），√２（４）

［２］基本単体

　　胞：３次元の基本単体（２），四面体甲（２），四面体乙（１）

　　二胞角：直角（６），６０°（２），４５°（２）

　　面：直角二等辺三角形，直角辺１（３），直角二等辺三角形，直角辺√２（１），辺の比１：√２：√３の三角形（４），辺の比１：√３：√２（正三角形の半分，２）

　なお，基本単体の切半超平面に対して，この胞のうち，二胞角９０°（３），６０°（２）になる．したがって，切片体もその９０°，６０°，４５°と，直角に対して有理数である．しかし，４次元の場合には二胞角だけでなく，胞をなす３次元多面体に二面角を考える必要がある．ＲＰについては，上述のとおり，その二面角は９０°，α3＝ａｒｃｃｏｓ１／３，θ＝ａｒｃｃｏｓ１／√３である．

　他方，基本単体については次の通りである．単体甲はＰ0Ｐ1Ｐ2Ｐ4あるいはＰ0Ｐ2Ｐ3Ｐ4の作る単体である．面は４面すべてが相異なり，小さい直角二等辺三角（辺長１，１，√２），大きい直角二等辺三角（辺長√２，√２，２），辺長比１：√２：√３の三角形，辺長比１：√３：√２の三角形，各１面ずつ．辺６本は長さ１（２），√２（２），√３（１），２（１）．

　この図形を３次元ｕｖｗ空間に実現すると，４頂点は（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（０，１，√２）ととることができる．このとき，４面はｗ＝０，ｕ＋ｖ＝１，ｕ＝０，ｗ＝√２ｖに表される．それぞれの法線は（０，０，１），（１，−１，０），（１，０，０），（０，１，√２）であり，それらの内積として二面角を計算すると，次のようになる．

　９０°，９０°，ａｒｃｃｏｓ√２／３（＝９０°−θ），４５°，ａｒｃｃｏｓ１／√６，９０°

　単体乙はＰ0Ｐ1Ｐ3Ｐ4のなす四面体で，辺６本は長さ１（２），√３（２），２（２）．面は辺長比１：√２：√３の面（２），辺長比１：√３：√２の面（２）が入れ違いの形であり，中央の切半面は回映面になる．

　この辺長を実現する３次元ｕｖｗ空間内の単体は，４頂点を（−１，０，０），（１，０，０），（−１／２，−１／２，１／√２），（１／２，１／２，１／√２）ととることができる．４面の方程式はｕ−ｖ＋√２ｗ＝１，−ｕ＋ｖ＋√２ｗ＝１，√２ｖ−ｗ＝０，√２ｖ＋ｗ＝０と表される．法線ベクトルは（１，−１，√２），（−１，１，√２），（０，√２，１），（０，√２，−１）．その間の内積から二面角は

　９０°，９０°，ａｒｃｃｏｓ√２／３，ａｒｃｃｏｓ√２／３，９０°，ａｒｃｃｏｓ１／３＝α3

となる．

　これらの二面角を比較すると（正確にはデーン不変量を計算する必要があるが）基本単体側にＲＰにないａｒｃｃｏｓ１／√６といった量がはいるので，分解合同ではなさそうである．さらに基本単体またはその切半体を集めてもＲＰを組み立てることは無理と思われる．

　もちろん，もっと精密に論ずる必要があるが，超立方体の基本単体を４次元の素片とするのは無理らしい．

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