（その７）では，ホテリング・ワイルの定理を紹介したが，ここで補足しておきたい．

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【１】ホテリング・ワイルの定理（管状近傍定理）

　パップス・ギュルダンの定理は一般のｎ＋１次元空間内の曲線ついても成立する．すなわち，半径ｒのｎ次元円板を考えることによって，

　　管状ｒ近傍の体積＝半径ｒのｎ次元円板の体積×曲線の長さ

　一般に，Ｓをｎ次元空間におけるｊ次元単体とすると，Ｓの直交ｒ近傍Ｓrは，Ｓと半径ｒのｎ−ｒ次球の直積としても書くことができる．

　　ｖｏｌn（Ｓr）＝ｖｏｌj（Ｓ）ｒ^n-j×ｖｏｌn-j（Ｂn-j）

　この定理は空間内の図形の周りに肉付けをした体積を求める公式である．たとえば，３次元空間中の半径Ｒの球面Ｓの各点で，Ｓの外側と内側にｒ（Ｒに較べて十分小）の幅をつけた体積を考えると，

　　Ｖ＝４π（Ｒ＋ｒ）^3／３−４π（Ｒ−ｒ）^3／３

　　　＝８πＲ^2ｒ＋８πｒ^3／３

　　　＝（Ｓの面積×肉厚２ｒ）＋２×（半径ｒの球の体積）

　ホテリング・ワイルの式は球面に対してだけでなく，それと同相な曲面すべてに対して成り立つことを主張しているのである．

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【２】オイラー標数

　　Ｖ＝（Ｓの面積×肉厚２ｒ）＋２×（半径ｒの球の体積）

において，２は球面のオイラー標数です．

　３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．たとえば，正八面体ではｆ＝８，ｖ＝６，ｅ＝１２．切頂２０面体ではｆ＝３２（正五角形１２枚，正六角形２０枚），ｖ＝６０，ｅ＝９０でオイラーの公式が成り立っていますが，正多面体に限らず任意の凸多面体について常に成立する公式です．

　これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．ｇ重ドーナツ面のオイラー標数は２−２ｇとなります．

　オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，オイラーの多面体定理を利用すると，

　　１）どの面も同数の辺で囲まれている．

　　２）どの頂点にも同数の辺が集まっている．

という仮定をするだけで，正多角形であるという仮定をまったくせずとも正多面体は５種類しかないことを証明可能になります．

　これが実に役立つ公式で，たとえばオイラーの多面体定理で示される制限から，正多面体は５種類しかないとか，すべての面が六角形であるような多面体は存在しないという結論，単一の凸ｎ角形で平面を敷き詰めるものはｎ≧７では存在しないこと，２次元以上ですべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことなどが導き出されます．

　オイラーの公式は単純ですが，要はその使い方というわけで，以下，オイラーの多面体公式から導き出される定理をみていくことにします．

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【３】もっと驚くべき定理

　フラーレンはダイヤモンドに次ぐくらい硬く，セシウムやルビジウムなどのアルカリ金属を加えると超伝導をおこすという化学的性質をもつ．切頂２０面体は頂点が６０あり，どの頂点からも３本の手がでている．したがってＣ60では３０本の二重結合（１２５００のケクレ構造）が描ける．また，異性体は１８１２種類もあり，そのうちで１２個の五角形がすべて離れているものが１つだけあり，それがサッカーボール型のＣ60である．この形は最も安定であるが，Ｃ60，Ｃ70以外にも正五角形１２枚，正六角形は２０枚〜１００枚以上の０次元ダイヤモンドが知られている．

　球を六角形でタイル貼りすることができないこと以上に驚くべきことがある．もし球を５角形と六角形からなる地図で敷き詰めたならば，サッカーボールのようにちょうど１２個の５角形がなければならないというものである．

（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．

（Ａ）ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　このことからもｆ3，ｆ4，ｆ5の少なくとも１つは０でない→多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならない，同様に，多面体の少なくとも１つの頂点は３次か４次か５次でなければならない→すべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出される．これもオイラーが知っていた結果であるということである．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる（フラーレン）．

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体など）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体など）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（大菱形立方八面体など）

(5)多面体の面がすべてｆ3とｆ6であるならば，ｆ3＝４（切頂四面体など）

　すなわち，球面を六角形と三角形で覆うとしたら，ちょうど４個の三角形が必要である．一般に，球面を六角形とｎ角形で覆うとしたら，ちょうどｋ＝１２／（６−ｎ）個のｎ角形が必要である．ｎ＝３，４，５のとき，

　　ｋ＝１２／（６−ｎ）＝４，６，１２

であるが，これは正多面体の面数と同じである．これらの結果は極めて重要で，四色定理の証明の中核をなしている．

［補］もし五角形ｘ枚と六角形ｙ枚の２種類の面のみをもつ頂点の次数が３の凸多面体に限定して考えるならば

　　面：ｘ＋ｙ

　　辺：（５ｘ＋６ｙ）／２

　　頂点：（５ｘ＋６ｙ）／３

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）に代入すると，ｘ／６＝２よりｘ＝１２となる．

［補］もしｍ角形ｘ枚とｎ角形ｙ枚の２種類の面のみをもつ頂点の次数がｋで等しい頂点数２４の準正多面体に限定して考えるならば

　　面：ｘ＋ｙ

　　辺：（ｍｘ＋ｎｙ）／２

　　頂点：（ｍｘ＋ｎｙ）／ｋ＝２４

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）に代入すると，ｘ＋ｙ＝１２ｋ−２２となる．

　　ｋ＝３　→　切頂立方体，切頂八面体，正１２角柱

　　ｋ＝４　→　小菱形立方八面体，ミラーの立体，正１２反角柱

　　ｋ＝５　→　ねじれ立方体

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