今回のコラムでは

　　コラム「無理数・代数的数・超越数（その１０）」

　　コラム「ビリヤード問題（その２）」

を再編して，無理数の性質に関するワイルの一様分布定理を紹介する．

　ワイルの一様分布定理とは，無理数γを与えたとき，ｎγの非整数部分｛ｎγ｝，ｎ^2γの非整数部分｛ｎ^2γ｝のｎ＝１，２，３，・・・としたときの分布についての定理で，

［１］γが無理数であれば｛ｎγ｝は区間［０，１）において一様分布する

［２］γが無理数であれば｛ｎ^2γ｝は区間［０，１）で一様分布する

　クロネッカーの稠密定理とそれに密接に関連したワイルの一様分布定理により，長方形ビリヤード問題に幾何学的証明を与えることができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ディリクレの定理の証明

　ディリクレの定理，すなわち「任意の実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

を満たす有理数ａn／ｂnが存在する．」の証明を再度掲げることにする．

（証）αが有理数で，α＝ｐ／ｑと表されたとする．｛ｂn｝は次々に大きくなる整数列であるから，ｑ＜ｂnである番号をとると

　　｜α−ａn／ｂn｜＝｜ｐ／ｑ−ａn／ｂn｜＝｜ｐｂn−ｑａn｜／ｑｂn

　しかし，ａn／ｂnはαとは一致しないので分子は１以上．したがって

　　｜α−ａn／ｂn｜≧１／ｑｂn

であるが，これが＜１／ｂn^2なのでｑ＞ｂnとなり矛盾．すなわち，αは有理数ではあり得ないことになる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　このように，「ディリクレの定理」の証明は，引き出し論法あるいは鳩の巣原理と呼ばれるものから容易に導かれる．この原理はｎ個の巣箱にｎ＋１羽の鳩が入っているならば，ある巣箱には少なくとも２羽の鳩が入っていなければならないというものである．

　ｘの小数部分ｘ−［ｘ］を｛ｘ｝と書くことにすると，０≦｛ｘ｝＜１である．ここでｑ＋１個の数，０，１，｛α｝，｛２α｝，・・・，｛（ｑ−１）α｝を考えると，これらの数はすべて区間［０，１］に属する．

　区間［０，１］をｑ個の互いに交わらないながさ１／ｑの小区間に分割すれば，ｑ＋１個の数のうちの２個は同じ小区間に入ることになる．その２数の差はｂnα−ａnで，また，０＜ｂn＜ｑであるから，｜ｂnα−ａn｜≦１／ｑが成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】クロネッカー・ワイルの定理

　無理数γを与えたとき，ｎγの非整数部分｛ｎγ｝＝ｎγ−［ｎγ］のｎ＝１，２，３，・・・としたときの分布について何がいえるであろうか？　部屋割り論法あるいは鳩の巣原理を用いて証明してみよう．

　　ｎγ＝［ｎγ］＋｛ｎγ｝

［１］γが有理数であれば｛ｎγ｝は有限個の相異なる値しかとらない

（証）γ＝ｐ／ｑならば，この数列の最初の第ｑ項までは

　　｛ｐ／ｑ｝，｛２ｐ／ｑ｝，・・・，｛（ｑ−１）ｐ／ｑ｝，｛ｑｐ／ｑ｝＝０

そして第ｑ＋１項は

　　｛（ｑ＋１）ｐ／ｑ｝＝｛１＋ｐ／ｑ｝＝｛ｐ／ｑ｝

以後，これの繰り返しとなる．

［２］γが無理数であれば｛ｎγ｝の値はすべて異なる

（証）｛ｎ1γ｝＝｛ｎ2γ｝と仮定する．このとき，（ｎ1−ｎ2）γは整数→γは有理数となり矛盾．

［３］γが無理数であれば｛ｎγ｝は区間［０，１］において稠密である（クロネッカーの定理）

［４］γが無理数であれば｛ｎγ｝は区間［０，１）において一様分布する（ワイルの定理）

　ワイルの規準とは，

　　『［０，１）内の実数列ξ1，ξ2，・・・が一様分布するには，すべての整数ｋに対して，Ｎ→∞のとき

　　１／ＮΣｅｘｐ（２πｉｋξn）→０

が成立するときに限られる』というものである．

　ワイルの規準を用いることにより，以下の結果が示される．

［５］γが無理数であれば｛ｎ^2γ｝は区間［０，１）で一様分布する

［６］Ｐ（ｘ）＝ｃnｘ^n＋ｃn-1ｘ^n-1＋・・・＋ｃ1ｘ＋ｃ0において，ｃ1，・・・，ｃnのうち少なくともひとつが無理数であるとすると，｛Ｐ（ｎ）｝は区間［０，１）で一様分布する

［７］ｓが整数でないならば｛ａｎ^s｝は区間［０，１）で一様分布する

　ところが，

［８］｛ａｌｏｇｎ｝はいかなるａに対しても一様分布しない

［９］γn＝｛（（１＋√５）／２）^n｝とする．γnは［０，１］で一様分布しない

　任意の無理数γを与えたとき，γ^nの非整数部分｛γ^n｝のｎ＝１，２，３，・・・としたときの分布については，どのようなより強い結果，より深い結果が得られるのであろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝