３次元では５種類の正多面体があるが，これらは互いに分解合同でない．しかしながら，３次元正多面体の元素数は５ではなく，４であることが既に確定している．

　４次元では６種類の正多胞体があるが，３種類の空間充填正多胞体（正８胞体・正１６胞体・正２４胞体は）を実際に共通の元素で構成することができたので４次元正多胞体の元素数は４となる．

　５次元以上では３種類の正多面体があるが，互いに分解合同でないことは既に確定している．しかし，以上の例から５次元空間における元素数は３であるという結論を導くのは早計であろう．

　３次元空間では２種類の立体（正八面体と正四面体）による空間充填ができ，さらに分割したものをうまく組み合わせると立方体ができた．任意のｎ次元で同じような状況を生ずるとも限らないし，実際，８次元空間で類似の充填形ができるのである．

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【１】５次元以上の正多胞体

　正２ｎ胞体の二面角はつねに９０°であるが，５次元以上の空間では正ｎ＋１胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ1＝１／ｎ，ｓｉｎδ1＝√（ｎ^2−１）／ｎ

正２^n胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ2＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδ2＝（２√（ｎ−１））／ｎ

であり，二面角はｎとともに増加しそれぞ９０°，１８０°に近づく．

ｎ　　　　　　　δ1　　　　　δ2　　　　　δ1＋δ2

2 60.0001 90.0001 150

3 70.5288 109.471 180

4 75.5226 120 195.523

5 78.4631 126.87 205.333

6 80.406 131.81 212.216

7 81.7868 135.585 217.372

8 82.8193 138.59 221.41

9 83.6207 141.058 224.678

10 84.2609 143.13 227.391

11 84.7842 144.903 229.687

12 85.2199 146.443 231.663

13 85.5883 147.796 233.384

14 85.904 148.997 234.901

15 86.1775 150.074 236.251

16 86.4168 151.045 237.462

17 86.6278 151.927 238.555

18 86.8153 152.734 239.549

19 86.9831 153.475 240.458

20 87.1341 154.158 241.292

　二面角が４直角の整数分の１にならないのは，４次元において二面角がそれぞれ７２°と１２０°よりも大きくなるからである．また，このことから５次元以上の空間では３種の正多胞体しかありえないことになる．

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【２】８次元の特殊性

　さらに，このことから５次元以上の空間で，正ｎ＋１胞体と正２^n胞体の二面角が２直角にはなるのは，

　　δ1＋２δ2＝３６０°

の場合に限られることもわかるだろう．

　　ｃｏｓ２δ2＝（ｎ^2−８ｎ＋８）／ｎ^2

　　ｓｉｎ２δ2＝−４（ｎ−２）√（ｎ−１）／ｎ^2

　　ｃｏｓ（δ1＋２δ2）＝ｃｏｓδ1ｃｏｓ２δ2−ｓｉｎδ1ｓｉｎ２δ2＝＝（ｎ^2−８ｎ＋８＋４（ｎ−１）（ｎ−２）√（ｎ＋１））／ｎ^3＝１

　　ｎ^3−ｎ^2＋８ｎ−８＝４（ｎ−１）（ｎ−２）√（ｎ＋１）

　　ｎ^2＋８＝４（ｎ−２）√（ｎ＋１）

　　ｎ^2（ｎ−８）^2＝０

　すなわち，８次元においてδ1＋２δ2＝３６０°となるが，２種の二胞角で，その和が３６０°になり，空間充填形を構成できるのは，ｎ≧５のときは８次元の場合だけである．

ｎ　　　　　　　δ1　　　　　δ2　　　　　δ1＋２δ2

2 60.0001 90.0001 240

3 70.5288 109.471 289.471

4 75.5226 120 315.522

5 78.4631 126.87 332.203

6 80.406 131.81 344.027

7 81.7868 135.585 352.956

8 82.8193 138.59 360

　　ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２ａｒｃｃｏｓ（−６／８）

　＝ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２π−ａｒｃｃｏｓ（１／８）＝２π

となって，解析的にも確かめられた．

　８次元の場合だけ

　　δ1＋２δ3＝２π

なる関係が成立し，

　　１７２８０×正単体＋２１６０×正軸体→超立方体ではない亜正多面体

となる．この図形は８次元の平行面体（平行移動で面を貼り合わせて空間充填形になる）のひとつである．しかし，超立方体に再編されるわけではないので，ｎ（≧５）次元正多面体の元素数は３であることが確定するのである．

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【３】結論

　このシリーズではこれまで直角三角錐（ＲＴ，ＲＰ，・・・）がｎ次元の正多面体の元素定理の本質をなしていることをつきとめた．３次元正多面体の元素定理でカギを握っているのが直角三角錐（ＲＴ：right tetra）であることに気づけば，任意のｎ次元でも直角三角錐が有用になると考えるのは自然な発想，自然な成り行きであろう．

　ｎ次元の直角三角錐２^n個で正２^n胞体ができる．また，この図形ｎ！個の体積は１辺の長さ２の正２ｎ胞体（体積：２^n）と等しくなる．正２ｎ胞体からはこの図形を２^n-1個を取り除くことができる．

［１］元素数の減少が起こる理由

　３次元では立方体から直角三角錐を４個取り除くと正四面体，４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるため，元素数がひとつ減る．さらに，４次元の特殊性として１９２個のＲＰから正２４胞体が構成されるため，もうひとつ元素数は減るのである．

［２］元素数の減少が起こらない理由

　５次元以上の空間では直角三角錘を２^n-1個を取り除くと正多面体にならず，１種の準正多面体になる．また，２次元では正方形から直角三角形を２個取り除くと何も残らない．これが各次元における元素定理の正体なのである．

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