８次元のＥ8格子に引き続いて，今回のコラムでは２４次元のリーチ格子について述べてみたいと思いますが，それに先だって，８次元と２４次元の特殊性について触れることにします．
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【１】８次元と２４次元の特殊性
ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，２００３年になって，ようやくロシアの数学者ミュージンよりτ4＝２４であることが証明されています．
専門的になりますが，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されます．また，１９６５年，リーチは群論と深く結びついた今日リーチ格子として知られるようになったものに基づいて，２４次元空間の格子状詰め込みを構成しました．この詰め込みにおいては，なんと１つの超球に１９６５６０個もの超球が接触しています．τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られています．また，ｎ＝２４のとき，ランダムな配置まで含めてもリーチ格子が唯一最密な球の詰め込みを与えることが証明されています（コーン，クマール：２００４年）．
つまり，８次元と２４次元は，接吻数が計算できる特殊な次元なのであり，都合のいい格子（８次元の場合，格子にはＥ8，２４次元の場合，リーチ格子という名前が付いている）がひとつに決まるので，格子上に球を配置することによってすぐに接吻数を数えることができるというわけです．
なぜ８次元空間と２４次元空間は特別な次元なのか，という真の理由は現在でも完全にはわかっていません．コラム「デーン不変量と二面角の幾何学（その２９）」では，√（ｎ＋１）が整数のとき，すなわち，
ｎ＝８，１５，２４，３５，４８，６３，８０，９９，１２０，・・・
などでは，正多胞体の元素数は≧２である可能性があることになることを述べましたが，
８＝３^2−１
２４＝５^2−１
であることがら，特別な次元は（素数）^2−１かもしれません．
５次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，
τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ4＝２４，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０
の６つだけなのです．
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【２】２４次元リーチ格子
球の最密パッキングの研究は，２次形式の数論，ルート系，誤り訂正符号（応用代数学），有限単純群などの理論と関係し，最大の信頼性と最小の電力で伝送できる効率的な通信システムの設計に応用されています．
とくに，２４次元リーチ格子：Λ24の発見により，データ転送における誤り訂正符号の発見に大革新がもたらされましたが，通信技術への応用は球の詰め込み問題の四次元以上への一般化の結果としてなされたものであり，純粋数学の期待せざる応用の一例といってもよいでしょう．
多くの符号系がガロア代数体から得られるのですが，パリティビットを加えて２４ビットにした符号系を使用すると，３個までの誤りが訂正できる符号系ができあがります．
２４ビット符号系を使用する場合，符号語１２ビット＋検査１１ビット＋パリティ１ビットですから，２^12＝４０９６語を使用することができます．
1)符号語０に対しては全０
2)符号語１に対しては
000000000001｜01000111011｜1
この場合の検査ビットは，左からｂ10，ｂ9，・・・，ｂ1，ｂ0とし，ｂkは素数１１に対して平方剰余のとき１，平方非剰余のとき０とする．また，パリティビットは全体で１が８個となるようにする．
3)符号語２^k(k=1~10)に対しては，末尾のパリティビットはそのままにして，残りの２３ビットをそれぞれ左にk-1桁巡回シフトとする．
4)左端が０の符号語(0~2047)に対しては，左側を２進数と考えて，3)で作った符号を各ビットごとに排他的論理和をとる．
5)左端が１の符号語ｍ(2048~4095)に対しては，その補数4095-mに対して4)で作った符号の各ビットを反転させる．
このようにすると，全０と全１を除いた４０９４語の符号は１が８個，１２個，１６個のいずれかであり，相異なる２個の符号は少なくとも８ビットが異なるようにすることができます．
この考え方が２４次元リーチ格子の場合にも有用となり，リーチは１９６７年に構成した極めて密な格子を構成しました．これがリーチ格子で，１９６９年，コンウェイはこれを利用して「コンウェイ群」と呼ばれる散発単純群を構成しています．これがさらに１９７３年，「モンスター」と命名・愛称された散在型有限単純群の誕生に結びつきました．
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【３】ラマヌジャン数とリーチ格子
以下では１／２，１／４などの分数を避けるために全体を８倍して成分をすべて整数としますが，これにより点間のノルムはすべて１６の倍数となります．したがって，原点からの距離が√１６ｎである点が第ｎ層です．
ｎ＝１（第１層）の点は存在しません．ｎ＝２（第２層）が２４次元の球の最大接触数であり，点の総計は
１９６５５０＝６５５２０×３
で与えられます．この値を与えるＳ^23上の球の配置もＥ8格子同様，本質的に１通りであることが証明されています．
ｎ＝３（第３層）の点の総計は
１６７７３１２０＝６５５２０×２５６
で，一般に第ｎ層の点数は
６５５２０＝１６×４０９５
の整数倍（ａn）となります．
Ｅ8格子では格子点の個数はσ3（ｎ）と関係していましたが，リーチ格子の場合，ｎの約数の１１乗の総和σ11（ｎ）と関係し，
６５５２０（σ11（ｎ）−τ（ｎ））／６９１≒９５σ11（ｎ）
τ（ｎ）はラマヌジャン数
となることが知られています．リーチ格子もアイゼンシュタイン級数と関係しているというわけです．
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ラマヌジャンは，デデキントのイータ関数（重さ1/2をもつモジュラー関数）
η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)
とおくと
Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n
ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)
を考え，そのフーリエ係数τ(n)を計算しました．
τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,
τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,
τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･
無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式
Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)
と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式を拡張した２４乗版と考えられます．
ラマヌジャン数は，オイラーの分割数のアナローグであり，
(1)ｍとｎが素ならば，τ(m)τ(n)＝τ(mn)
τ(2)*τ(3)=-6048=τ(6)，τ(2)*τ(5)=-115920=τ(10)
τ(3)*τ(4)=-370944=τ(12)，τ(2)*τ(9)=2727432=τ(18)
τ(4)*τ(5)=-7109760=τ(20)，τ(3)*τ(7)=-4219488=τ(21)
(2)τ(p^(n+1))-τ(p^n)τ(p)=-p^11τ(p^(n-1))
(3)τ(n)＝σ11(n)（ｎの約数の１１乗の総和） （ｍｏｄ ６９１）
など驚くような性質をもっています．
したがって，
（σ11（ｎ）−τ（ｎ））／６９１
は整数となるのですが，このようにフーリエ係数がｎに関して乗法的性質をもつ保型形式はヘッケ固有形式と呼ばれるもので，ここでもσ11（ｎ）や６９１が現れていることに注意して下さい．
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