一松信先生に「８次元正単体α8と正軸体β8による空間充填形」について補講していただくことになったので，紹介したい．
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【１】８次元正単体α8と正軸体β8による空間充填形
二胞角は正単体α8がａｒｃｃｏｓ１／８（８２°ほど），正軸体がａｒｃｃｏｓ−３／４（１３９°ほど）で，
ａｒｃｏｃｓ（１／４）＋２×ａｒｃｏｃｓ（−３／４）＝２π
になります．超立方体γ8の９０°とは直接関係なさそうです．
この充填形では各頂点に１７２８０個の正単体と２１６０個の正軸体が相会しています．実はこの充填形は個々の素片を並べて考えるよりも，対局的に八元整数（ケイリー数の整数）全体のなす格子点をうまく結ぶと，この形の充填形ができることを明記したのが，コクセターの論文：
Integral Cayley Numbers
Duke Mathematical Journal, 13(4), 1946
です．彼の選集
Twelve Geometric Essays (Southern Illinois Univ Press, 1968
に再録されています．
八元数の表現はいろいろの流儀があり，コンウェイの本「四元数と八元数」（培風館）の記号とも違います．そして内容は大半が八元数の代数的な話ですが，目標は"not easy to prove"という命題：
任意のケイリー数Ｘに対して，ノルム（距離の２乗）：Ｎ（Ｘ−Ｇ）≦１／２であるケイリー整数Ｇがある
これは長らく懸案の課題でしたが，コクセターが図形的に，八元整数全体のなす格子は８次元の正軸体と正単体による空間充填形になっていることを示したので，上記の命題はほぼ自明の事実になりました．「抽象数学」の全盛時代に図形的直観が難問をあっさり解決した例として，当時評判になったようです．
この格子で特定の１点（原点）からの距離が√ｎである格子点の個数が
２４０σ3（ｎ） （ｎの約数全体の３乗の和）
であることや８次元の球の最密充填が１点のまわりに２４０個で，それがこの形の格子で実現される（しかも本質的に一通り）などもわかっております．
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【２】ケイリー整数とＥ8格子
８次元のこの格子（Ｅ8格子と呼ばれる）の格子点はおおざっぱにいうと，次のような点から成り立ちます．
1)座標がすべて整数値の点
2)座標がすべて半整数値の奇数倍の点
3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍の点
ただし，3)においてその４個は全８個からの４個の組み合わせ8Ｃ4＝７０組のうち，特定の１４組に限る．具体的には実数部をｅ0，虚数部をｅ1−ｅ7とするとき，ｅi，ｅj，ｅkのうち積の結合法則ｅi・（ｅj・ｅk）＝（ｅi・ｅj）・ｅkがが成立する（ｉ，ｊ，ｋ）の３つ組が７組あり，その組に実数の０番を加えた（０，ｉ，ｊ，ｋ）７組とその補集合７組の合計１４組とする．
「八元整数」を作るにはこのままでは不備がありますが，充填図形としてはこのままで問題ありません．たとえば，最近距離１の格子点には
（±１，０，・・・・・，０）の置換１６個
（±１／２，±１／２，±１／２，±１／２，０，・・・，０）の型１４×１６＝２２４個，合計２４０個．
次の距離√２の格子点は
（±１，±１，０，・・・・・，０）の置換8Ｃ2×２^2＝１１２個
（±１／２，±１／２，±１／２，±１／２，±１，０，・・・，０）の型１４×１６×４×２＝１７９２個
（±１／２，±１／２，±１／２，±１／２，０，・・・，±１／２）の型２^8＝２５６個，合計２１６０個＝２４０・（１^3＋２^3）個となります．
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【３】まとめ
この格子には座標を回転した形でまったく別の表現もあります．コンウェイはむしろその方を扱っているようです．しかし，充填形として考える場合どちらがわかりやすいかは疑問です．
ただし，どうも格子の話が主で，正軸体と正単体がどのように配列されているのかは見やすくありません．原点を１頂点と考えると上述２１６０個各々の対頂点で，両者の垂直二等分面上に（原点からの距離１），他の１４個の頂点があります．これら正軸体の中間を正単体が埋めている形です．
ところで，ここでで述べたＥ8の亜正多面体の体積は正しいのですが，あの図形が空間充填形になるように思ったのは錯覚であって，単独で８次元空間の充填形になるのは格子のボロノイ領域です．この図形は８次元の平行面体（平行移動で面を貼り合わせて空間充填形になる）のひとつで，１７２８０個の正単体の１／９（ひとつの頂点が最も近い部分）と２１６０個の正軸体の１／１６（ひとつの頂点が最も近い部分）から成り立ちます．その体積は
正単体の体積３／２^4８！×１／９×１７２８０＝１／１１２
正軸体の体積２^4／８！×１／１６×２１６０＝６／１１２
の合計（１＋６）／１１２＝１／１６で，案外簡単な数になります．
このように述べてもイメージが十分涌かないかもしれません．８次元という高い次元の難しさでしょう．以上，８次元のα8とβ8による空間充填形について述べましたが，これがご研究に役立てば幸甚です．
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