「４次元正多胞体の元素定理」を投稿しようとしていた矢先，論文の内容に自己矛盾がみつかった．

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【１】４次元デーン不変量の自己矛盾

　　４次元デーン不変量＝ｆ（二胞角，二面角）

と定義して，二胞角の有理数係数についての独立性に加えて，境界多面体の二面角の独立性を調べてみると，

　　　　　　二胞角　　　二面角

５胞体　　　　Ａ　　　　　Ｃ

８胞体　　　　Ｂ　　　　　Ｄ

１６胞体　　　Ｂ　　　　　Ｃ

２４胞体　　　Ｂ　　　　　Ｃ

１２０胞体　　Ｂ　　　　　Ｅ

６００胞体　　Ａ　　　　　Ｃ

となって４種類の組み合わせ（ＡＣ，ＢＤ，ＢＣ，ＢＥ）ができる．このことから，４次元正多胞体の元素数は≧４であると評価される．ところが，

［１］８胞体・１６胞体・２４胞体の直積はそれぞれＢＤ・ＢＣ・ＢＣである．すなわち，これら３つの立体の元素数は２以上．

［２］しかるに，８胞体・１６胞体・２４胞体はどれもＲＰから構成できる．すなわち，これら３つの立体の元素数は１．

　［１］と［２］は矛盾するというわけである．４次元のデーン不変量はよくわからない！

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【２】空間充填の必要条件との関係

　多面体Ｐに対し二面角をδiとすると，デーン不変量δ（Ｐ）はすべての辺で二面角の和をとり，ｍｏｄ　πで還元したものとして定義される．

　　δ（Ｐ）＝Σｎδ　　　（ｍｏｄ　π）

　３次元正多面体の場合，δ4＋δ8＝π，δ6＝π／２であるから

　　Ｎ1δ4＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

とより簡潔に書くことができる．これは，デーンの定理（１９０１年）

　　Ｎ1δ4≠０　　（ｍｏｄ　π）

の一般化に他ならない．

　これか証明されたことから，３次元正多面体の元素数は≧４であるという結論が主張できた．

　ところで，空間充填の必要条件は，一辺の回りの二面角の和が３６０°となることである．

　　Σｎδ＝２π

これはデーン不変量を強めた（弱めた？）ものであることがわかるだろう．

　そこで，空間充填の面から正多胞体の元素定理をみてみることにしよう．３次元の一種類の合同な正多面体による空間充填では立方体だけが空間充填形なのであるが，もし２種類以上を使ってよければ，正四面体と正八面体の二面角が互いに補角であるから，両者を組み合わせて空間充填が可能になる．正多面体同士の組合せでは，正四面体と正八面体を組み合わせたものだけが空間を充填するのである．

［１］単一種による空間充填の例

［２］複数の種類による空間充填例

［３］非空間充填例

と分類すると，３次元では

［１］立方体

［２］正四面体＋正八面体

［３］正１２面体，正２０面体

の４群，４次元では

［１］８胞体，１６胞体，２４胞体（これらはどれもＲＰから構成できる）

［２］なし

［３］５胞体，１２０胞体，６００胞体

の４群，５次元では

［１］１０房体（５次元立方体）

［２］なし

［３］６房体（５次元正四面体），３２房体（５次元正八面体）

の３群となって，一応のつじつまが合う．これで自己矛盾は克服できたか？

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　超立方体は各次元で空間充填形［１］である．［２］の空間充填形として２種の胞間の角の和が３６０°になるのは，ｎ≧５のとき，８次元の

［１］８次元立方体

［２］８次元正四面体＋８次元正八面体

［３］なし

の場合だけであることがわかっている（この場合は２群であるから，元素数２以上）．

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