「任意の三角形の角の三等分線を描くと，隣り合う三等分線が交わる３つの交点は正三角形になる．」・・・これをモーレーの三角形と呼ぶが，モーレーの三角形が１８９９年，わずか１００年前に発見されたというのは驚きである．
ところで，
［Ｑ］モーレーの三角形の中心（重心）はもとの三角形の何と一致するのだろうかという問題に対しては，既知の諸心のどれでもなく（残念な結果であるが）「モーリーの正三角形の中心点」といわざるを得ないようである．今回のコラムでは，このことに関する一松信先生の計算結果とそういわざるをえない根拠も記したいと思う．
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【１】三角形の有理的心（rational center）
三角形の有理的心とは，次のように表される点です．ある関数ｆ（ａ；ｂ，ｃ）があり，巡回的にｆ（ｂ；ｃ，ａ），ｆ（ｃ；ａ，ｂ）と表される．ここでｆは
［１］ａ，ｂ，ｃについての同次式
［２］ｆ（ａ；ｂ，ｃ）はａを主変数とし，ｂ，ｃについて対称
［３］ａ，ｂ，ｃについての有理式（分母を払えば多項式）で表される
［１］［２］は不可欠，［３］がある種の理論に必要で専らこの場合にしか扱わない場合もあります．有理的でないの心の一例は和心（Soddy点：ＡＰ＋ＢＣ＝ＢＰ＋ＣＡ＝ＣＰ＋ＡＢを満たす点Ｐ）で，その重心座標には平方根が入ります（内接円の半径が関与するので面積を表すヘロンの公式関連で平方根が入る）
それでも大半は定規とコンパスで作図できる点（和心もそう）に限っているので，モーリー三角形の中心点は異質です．
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【２】モーリー三角形の中心点
モーリーの定理そのものの証明もいろいろあり，便宜上，３内角の１／３を∠Ａ／３＝α，∠Ｂ／３＝β，Ｃ／３＝γ （α＋β＋γ＋６０°）と記すと，小正三角形の一辺の長さは８Ｒｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ （Ｒは外接円の半径であることが示されます．
以下，３頂点の重心座標を計算します．その中心は（正規化した）Ｐ，Ｑ，Ｒの重心座標の相加平均として表されます．そのための補助として∠Ａを三等分した直線が対辺ＢＣと交わる点をＤ，Ｅとし，
ＢＤ＝ｕ，ＤＥ＝ｖ，ＥＣ＝Ｗ （ｕ＋ｖ＋ｗ＝ａ）
ＡＤ＝ｓ，ＡＥ＝ｔ
とおき，これらをａ，ｂ，ｃ，α，β，γで表すことを考えます．
条件式は，ｕ：ｖ＝ｃ：ｔ、ｖ：ｗ＝ｓ：ｂ
正弦定理より，ｕ／ｓｉｎβ＝ｓ／ｓｉｎ３β
（ｖ＋ｗ）／ｓｉｎ２α＝（ａ−ｕ）／ｓｉｎ２α＝ｓ／ｓｉｎ３γ
これから
ａ＝（ａ−ｕ）＋ｕ＝（ｓｉｎα／ｓｉｎＢ）ｓ＋（ｓｉｎ２α／ｓｉｎＣ）ｓ （Ｂ＝３β，Ｃ＝３γ）
したがって，
ｓ×（ｓｉｎαｓｉｎＣ＋ｓｉｎ２αｓｉｎＢ）＝ａ×ｓｉｎＢｓｉｎＣ
≡ａｂｃ／４Ｒ^2＝Ｓ／Ｒ （ＳはΔＡＢＣの面積，Ｒは外接円の半径）
これから
ｓ／２・（ｃｓｉｎα＋ｂｓｉｎ２α）＝Ｓ
ｓ＝２Ｓ／（ｃｓｉｎα＋ｂｓｉｎ２α）＝２Ｓ／ｓｉｎα（ｃ＋２ｂｃｏｓα）
同様に
ｔ＝２Ｓ／（ｂｓｉｎα＋ｃｓｉｎ２α）＝２Ｓ／ｓｉｎα（ｂ＋２ｃｃｏｓα）
ｕ＝っＳｓｉｎα／ｓｉｎＢ＝４ＳＲ／ｂ（ｃ＋２ｂｃｏｓα）
＝ａｃ／（ｃ＋２ｂｃｏｓα）
ｗ＝ａｂ／（ｂ＋２ｃｃｏｓα）
ｖ＝ｕｗ／２Ｒｓｉｎα＝ａｂｃｓｉｎＡ／（ｂ＋２ｃｃｏｓα）（ｃ＋２ｂｃｏｓα）ｓｉｎα
＝ａｂｃ（４ｃｏｓ^α−１）／（ｂ＋２ｃｃｏｓα）（ｃ＋２ｂｃｏｓα）
したがって，
ＢＤ：ＤＣ＝ｕ：（ａ−ｕ）＝ｃ：２ｂｃｏｓα
→Ｄの重心座標は（０，２ｂｃｏｓα，ｃ）
ＢＥ：ＥＣ＝２ｃｃｏｓα：ｂ
→Ｅの重心座標は（０，ｂ，２ｃｃｏｓα）
直線ＡＲの方程式はｙ：ｚ＝２ｂｃｏｓα：ｃ
同様に，直線ＢＲの方程式はＡＱ（＝ＡＥ）の方程式を巡回的に回してｚ：ｘ＝ｃ：２ａｃｏｓβ
したがって，交点Ｒの重心座標は
Ｒ（２ａｃｏｓβ，２ｂｃｏｓα：ｃ）
と表される．同様に
Ｐ（ａ，２ｂｃｏｓγ，２ｃｃｏｓβ）
Ｑ（２ａｃｏｓγ，ｂ，２ｃｃｏｓα）
となる．
うまくまとめられるとよいのだが，どうも無理のようである．したがって，ΔＰＱＲの中心の重心座標（ｘ，ｙ，ｚ）はそのままの平均として次のように書かざるを得ない．
ｘ＝ａ／３［２ｃｏｓβ／（２ａｃｏｓβ＋２ｂｃｏｓα＋ｃ）＋１／（ａ＋２ｂｃｏｓγ＋２ｃｃｏｓβ）＋２ｃｏｓγ／（２ａｃｏｓγ＋ｂ＋２ｃｃｏｓα）］
ｙ＝ｂ／３［２ｃｏｓα／（２ａｃｏｓβ＋２ｂｃｏｓα＋ｃ）＋２ｃｏｓγ／（ａ＋２ｂｃｏｓγ＋２ｃｃｏｓβ）＋１／（２ａｃｏｓγ＋ｂ＋２ｃｃｏｓα）］
ｚ＝ｃ／３［１／（２ａｃｏｓβ＋２ｂｃｏｓα＋ｃ）＋２ｃｏｓβ／（ａ＋２ｂｃｏｓγ＋２ｃｃｏｓβ）＋２ｃｏｓα／（２ａｃｏｓγ＋ｂ＋２ｃｃｏｓα）］
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【３】まとめ
ａ，ｂ，ｃはよいがα＝Ａ／３，β＝Ｂ／３，γ＝Ｃ／３という３等分角のｃｏｓが入るので，これらはａ，ｂ，ｃに関する３次方程式の解でありうまくまとめられません．すなわち，α＝Ａ／３，β＝Ｂ／３，γ＝Ｃ／３のｃｏｓがａ，ｂ，ｃの代数関数ではあるが有理式にはなりそうもないため，有理的心にはならないというわけです．
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