三角形（その３）→平行四辺形（その４）→任意の四角形（その５）と進んできたが，今回は台形の番である．
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【１】台形の面積公式から角錐台へ
台形の面積公式は，（上底＋下底）×高さ÷２
（ａ＋ｂ）ｈ／２
であるが，古代エジプト人たちは下底が１辺の長さａの正方形，上底が１辺の長さｂの正方形，高さｈの四角錐台の体積が
（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）ｈ／３
で求められることを知っていたようである．
また，魏の時代に書かれた劉徽の「九章算術」の体積計算では棊（き）と呼ばれる４種類のブロックを利用して，角錐や角錐台の体積公式を得ている．４種類のブロックとは立方体，塹堵（ぜんと：１／２立方体），陽馬（１／３立方体），鼈臑（べつどう：１／６立方体）である．鼈臑とはすっぽんのすね（前足の骨）の意であるそうだ．
たとえば，正四角台は中央にある立方体，側面にある４つの塹堵，各隅に１つずつある４つの陽馬に細分される．それらをうまく組み換えることによって，３個の三角錐（Ｖ＝ａ^2ｈ／３，ａｂｈ／３，ｂ^2ｈ／３）に転化させることができる．このことは角錐台の体積公式が
（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）ｈ／３
となることを示している直接的な証明法である．
劉徽の「九章算術」では，台形の面積公式
（ａ＋ｂ）ｈ／２
が台形を２個の三角形（Ｓ＝ａｈ／２，ｂｈ／２）に転化させて得られるのと同様のアイディアで角錐台の体積を求めているのである．すなわち，「九章算術」の立方体，塹堵（ぜんと），陽馬，鼈臑（べつどう）はピースを並べ替えて等積変形により立体の体積を求積するもので，同じく中国生まれの「タングラム」の立体版と考えられる．
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【２】台形の面積公式から角柱へ
本年６月に開催された「形の科学会」において，建築家の阿竹克人さんが，台形の上底・下底ではなく側辺に注目されて，台形の面積は側辺の投影面積ｈと側辺の重心の平均移動距離（ａ＋ｂ）／２の積として求められるという面積公式を発表しておられた．
平面は２本の平行線で決定されるが，空間は３本の平行線で決定されるから，平行でない２平面で切り取った三角柱の体積は，投影面積をＳとすると側面の重心の平均移動距離は（ａ＋ｂ＋ｃ）／３であるから
Ｓ×（ａ＋ｂ＋ｃ）／３
４次元では
Ｖ×（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／４
になるというものである．
これについてはコラム「学会見聞録（形の科学会）」にも書いたが，もちろん，パップス・ギュルダンの定理の特別な場合に相当する．
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【３】パップス・ギュルダンの定理
半径ａと半径ｂ（ｂ＜ａ）の同心円に挟まれた円環状部分の面積は
πａ^2−πｂ^2
で与えられるが，この図形は２次元の円に幅をもたせたものと考えることができる．
そこで，帯の幅（ａ−ｂ）に重心（原点からの距離：（ａ＋ｂ）／２）が描く円周長２π（ａ＋ｂ）／２を乗ずると
円周長×幅＝２π（ａ＋ｂ）／２×（ａ−ｂ）＝πａ^2−πｂ^2
となって同じ値が得られる．
円を円と交わらない軸を中心にして３次元空間内で回転させるとトーラス（円環面）が得られる． 半径ｂの円を３次元空間内で半径ａで回転させたトーラスの場合，
表面積＝円周長２πｂ×円周長２πａ＝４π^2ａｂ
体積＝断面積πｂ^2×円周長２πａ＝２π^2ａｂ^2
で表すことができる．すなわち，体積・表面積とも太さと長さの積で表せるというわけである．
円周率が２つ入っているが，この意味はトーラス面は環状に並べられた円であることにほかならない．トーラスの体積・表面積の解答を自力で見つけて感動を覚え，それが次の興味に繋がったという経験をお持ちの読者も少なくないだろう．トーラスを同心円の積層であることを自力でみつける姿勢は必要であろうし，わかるということの喜びを体験することができるのである．
（第１定理）回転体の体積は元になる図形の面積とその図形の重心が移動した距離の積になる．
（第２定理）表面積は図形の周となっている曲線の重心の移動距離とその図形の周長との積になる．
これらは円だけでなくあらゆる回転体について成り立つ回転体の体積と表面積に関する定理であり，４世紀前半に精力的に活動した数学者パップスにちなんで「パップスの定理」と呼ばれている．
（Ｑ１）三角形の重心は底辺から高さの１／３のところにあるが，それでは半円の重心はどこにあるのだろうか？
（Ａ１）パップスの第１定理を逆に使って求めてみよう．直径を軸として半円を回転させると球になる．アルキメデスによれば球の体積は
４／３πｒ^3
一方，パップスによればこの体積は半円の面積１／２πｒ^2と半円が回転したときの重心の移動距離２πｄの積に等しい（重心と円の中心との距離をｄとする）．したがって，
ｄ＝４ｒ／３π＝０．４２ｒ
（Ｑ２）半径ｒの半円形をした針金の重心は？
（Ａ２）パップスの第２定理より，重心の移動距離２πｄと半円の長さπｒの積は球の表面積４πｒ^2は等しくなる．したがって
ｄ＝２ｒ／π＝０．６４ｒ
これらの問題は積分を使っても解くことができるが，それよりもパップスの定理を使った方が簡単であろう．また，パップスの定理は円が曲線に沿って移動するような軌跡問題などにも応用することができる．
［補］この回転体の体積や表面積についての定理は古代ギリシアの数学者パップス（４世紀前半）が言及し，後になってスイスの数学者ギュルダンによって証明が試みられました．そのため今日ではパップス・ギュルダンの定理と呼ばれています．
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［補］三角形についてのパップスの中点定理
パップスは体積と重心に関するパップス・ギュルダンの定理，三角形についてのパップスの中線定理，射影幾何学におけるパップスの定理にその名を残しています．
△ＡＢＣにおいて，辺ＢＣ上に中点Ｍが与えられている．このとき，
ＡＢ^2＋ＡＣ^2＝２（ＡＭ^2＋ＢＭ^2）
が成り立つ．
３辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ＡＭ＝ｘで表すと，
２（ｘ^2＋（ａ／２）^2）＝ｂ^2＋ｃ^2
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【４】ホテリング・ワイルの定理（管状近傍定理）
パップス・ギュルダンの定理は一般のｎ＋１次元空間内の曲線ついても成立する．すなわち，半径ｒのｎ次元円板を考えることによって，
管状ｒ近傍の体積＝半径ｒのｎ次元円板の体積×曲線の長さ
一般に，Ｓをｎ次元空間におけるｊ次元単体とすると，Ｓの直交ｒ近傍Ｓrは，Ｓと半径ｒのｎ−ｒ次球の直積としても書くことができる．
ｖｏｌn（Ｓr）＝ｖｏｌj（Ｓ）ｒ^n-j×ｖｏｌn-j（Ｂn-j）
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