（その４）では平行四辺形の場合を扱った．次は台形の番とすべきかもしれないが，ここでは任意の四角形を扱ってみよう．

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【１】辺の２等分

　四角形の中点を結んでできる四角形は平行四辺形（ヴァリニョンの平行四辺形）である．この小さい平行四辺形の面積はもとの四角形の面積の１／２，周長は対角線の長さの和に等しい．四角形を対角線で２つの三角形に分け，中点連結定理を適用すればこのことがわかる．

　したがって，四角形の対辺の中点を結ぶ線分は互いに他を２等分することもわかる．

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【２】辺の３等分

　もとの四角形の各辺の３等分点をとり，隣り合った３等分点を結ぶと８角形になるが，この線分の延長上にできる交点を結んでも平行四辺形ができる．この平行四辺形はウィッテンバウアーの平行四辺形と呼ばれる．

　もとの四角形の重心はウィッテンバウアーの平行四辺形の中心と一致する．

（証）四角形を対角線で２つの三角形に分けると，三角形の重心はもとの四角形とウィッテンバウアーの平行四辺形の交点を結ぶ線分の中点となる．したがって，もとの四角形の重心はウィッテンバウアーの平行四辺形の対辺の中点を結ぶ直線上にあることがわかる．同様に，もうひとつの対角線で２つの三角形に分けると，もとの四角形の重心はウィッテンバウアーの平行四辺形の中心と一致することが結論される．

　ウィッテンバウアーの平行四辺形の面積はもとの四角形の面積の８／９，周長は対角線の長さの４／３に等しい．また，もとの四角形とウィッテンバウアーの平行四辺形が重なった部分の８角形の面積はもとの四角形の面積の７／９，ウィッテンバウアーの平行四辺形の面積の７／８に等しい．

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