６種類ある４次元正多胞体の包含関係を考えよう．興味深いことに，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．
その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．
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【１】正１２０胞体の伸縮と回転
Coxter, Regular Polytope （改訂版, Dover, 1973），p157および一松信「高次元の正多面体」日本評論社，p98には，４次元正１２０胞体の６００個の頂点の座標
［０］（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）
と記述されている．
一方，一松信「高次元の正多面体」日本評論社，p98では，これを１／√２倍して回転すると，
［１］（±２，０，０，０）の置換
［２］（±τ，±１，±１／τ，０）の置換
［３］（±１，±１，±１，±１）の置換
［４］（√５／２，√５／２，√５／２，１／２），（τ^2／２，τ^2／２，√５／２τ，１／２τ），（σ／２，１／２τ，１／２τ，１／２τ），（τ√５／２，τ／２，１／２τ^2，１／２τ^2）およびこれに偶数個の負号をつけた点の置換
［５］（σ’／２，τ／２，τ／２，τ／２），（３／２，√５／２，１／２，１／２）およびこれに奇数個の負号をつけた点の置換にも表される．
σ＝（３√５＋１）／２，σ’＝（３√５−１）／２
とある．
４次元正多胞体の包含関係を決定するのには［０］でなく，［１］〜［５］が大変有用であった．この伸縮と回転はどのようにして計算されたものなのだろうか？
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【２】標準的な直交変換
一松信先生の解説によると，
［１］正２４胞体の頂点の座標は
（±１，±１，±１，±１）・・・正８胞体の頂点
（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）・・・正１６胞体の頂点
の２４点である．
正２４胞体の構成には他の方法もあり，（±１，±１，０，０）を置換した２４点から作るものである．これは正８胞体の２次元面２４個の中心をとったものである．
［２］４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は
（±２，±２，０，０），（±√５，±１，±１，±１），（±τ，±τ，±τ，±１／τ^2），（±τ^2，±１／τ，±１／τ，±１／τ）の置換と（±τ^2，±１／τ^2，±１，０），（±√５，±１／τ，±τ，０），（±２，±１，±τ，±１／τ）の偶置換で与えられる．
これを√２倍して回転すると
（√５，√５，√５，１），（τ^2，τ^2，√５／τ，１／τ），（（３√５＋１）／２，１／τ，１／τ，１／τ），（τ√５，τ，１／τ^2，１／τ^2）およびこれに偶数個の負号をつけた点の置換，（（３√５−１）／２，τ，τ，τ），（３，√５，１，１）およびこれに奇数個の負号をつけた点の置換，（±４，０，０，０），（±２τ，±２，±２／τ，０），（±２，±２，±２，±２）の置換で与えられる．
その際，
［３］（±２，±２，０，０）を置換した２４点
を，
［４］（±４，０，０，０），（±２，±２，±２，±２）の置換の計２４点
にうつす標準的な直交変換を考える．
［３］から互いに直交する代表的な４点（２，２，０，０），（２，−２，０，０），（０，０，２，２），（０，０，２，−２）の座標を縦に並べて書く．すなわち，
［２， ２，０， ０］
［２，−２，０， ０］
［０， ０，２， ２］
［０， ０，２，−２］
をとり，これを［４］の
［４，０，０，０］
［０，４，０，０］
［０，０，４，０］
［０，０，０，４］
にうつす行列を計算すると，変換行列は
［１， １，０， ０］
［１，−１，０， ０］
［０， ０，１， １］
［０， ０，１，−１］
になる．
これは直交変換して√２倍する変換であるが，この変換行列はひとつの例であって，他にも多数の取り方がある．その選び方はいろいろあるが，ｐ９７の各点は，この行列によってｐ９８のどれかの点にうつされる．
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