円周上にｎ点が等間隔に配置されているとき，それらを結んでできる幾何学的図形をポアンソの星という（ポアンソは剛体力学の研究で知られるフランスの数学者）．正ｎ角形では辺も含めてｎ（ｎ−１）／２本の対角線があるが，ｎが偶数のときは辺も含めてｎ／２個の異なる対角線があり，奇数のときは（ｎ−１）／２個の異なる対角線がある．

　正多面体（頂点数ｖ）の場合も同様であって，辺も含めて（ｖ，２）本の対角線があり，ひとつの頂点を起点とする対角線の数はｖ−１本である．それでは，長さの異なる対角線（辺も含む）の数はどうなっているのだろうか？

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【１】３次元正多面体

　　正四面体（ｖ＝４）　　：１

　　立方体（ｖ＝８）　　　：３

　　正八面体（ｖ＝６）　　：２

　　正十二面体（ｖ＝２０）：５

　　正二十面体（ｖ＝１２）：３

【２】４次元正多面体

　　正５胞体（ｖ＝５）　　　　：１

　　正８胞体（ｖ＝１６）　　　：４

　　正１６胞体（ｖ＝８）　　　：２

　　正２４胞体（ｖ＝２４）　　：４

　　正６００胞体（ｖ＝１２０）：８

　　正１２０胞体（ｖ＝６００）：３０

【３】ｎ次元正多面体

　　正ｎ＋１胞体（ｖ＝ｎ＋１）：１

　　正２ｎ胞体（ｖ＝２^n）　　：ｎ

　　正２^n胞体（ｖ＝２ｎ）　　：２

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【４】雑感

　すべての次元で単位球に内接する正多胞体（頂点数ｖ）のすべての辺と対角線の長さの平方和はｖ^2で与えられるのであるが，それを計算で確認するには結構骨が折れる．なかでも４次元正１２０胞体の構成は最も厄介であろう．

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