サム・ロイドのパズルに「コロンブスの卵」と呼ばれるものがある．
［Ｑ］テーブルの上の９個の卵を使って直線上に３個の卵が並ぶ列を最大何列作ることができるか？
［Ａ］３×３に並んでいる状態だと８列あるが，中央の列の卵を内側に少し寄せて王の字にすると，１列３個からなる列を１０列作ることができる．
［Ｑ］３×３に並んでいる９個の卵をすべて通る連続線を引き，その方向転換の数を最小にせよ．
［Ａ］９個の卵が４本の連続直線（３回の方向変換）でつながる．
とくに前者は９点が３点ずつ１０本の直線上に配列されているが，おそらく共線・共点定理の研究からであろうと思われる．
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【１】共線定理
３点あるいはそれ以上の点が一直線上にあることを主張する定理は共線定理と呼ばれます．デザルグの定理やパップスの定理が共線定理の例ですし，あるいは三角形の外心と重心と垂心はその順番に一直線上に並んでいて，外心と垂心を結ぶ線分が重心によって１：２に内分されています．この共線はオイラー線と呼ばれています．
ここでは，パスカルの定理とニュートンの定理を紹介します．パスカルもニュートンも，少年時代はみんなパズルずきの幾何少年だったのです．
＜ニュートンの定理＞
四辺形ＡＢＣＤの２組の対辺の延長の交点をＥ，Ｆ，対角線ＢＤの中点をＬ，対角線ＡＣの中点をＭ，線分ＥＦの中点をＮとすれば，３点Ｌ，Ｍ，Ｎは一直線上にある．
＜パスカルの定理＞
円錐曲線，すなわち楕円，双曲線，放物線に内接する任意の六角形の三組の対辺の交点は同一直線上にある．
パスカルはこの有名な定理をわずか１７才の時に発見したのですが，これは射影幾何学の基本定理の一つになっています．射影幾何学とは，長さや角の大きさに無関係に，例えば，いくつかの点がある直線上にあるといった関係，射影によって不変な図形の性質，を研究する学問です．パスカルの定理の重要な系が「円錐曲線は任意の５点で一意に定まる」です．
２次曲線は円（ｅ＝０）として生まれ，楕円に育ち，放物線（ｅ＝１）で相転移して双曲線になる．漸近線のなす角度は最初鋭角だがだんだん大きくなり，１８０°になった時点（ｅ＝∞）で虚領域に入る．そして再び円に生まれ変わる．楕円の面積は有限，放物線の面積は∞，この考え方を延長すると双曲線の面積は虚数ということになる・・・というのがケプラーの原理ですが，射影平面上では，円錐曲線はただ１種類しかなく，双曲線・放物線・楕円などの区別はなく，どれも同種の曲線となります．
また，射影平面上では点という語と直線という語を入れ替えても定理は成り立っています．これをポンスレーの双対原理と呼び，射影幾何学の最も美しい特質です．
パスカルの定理から１５０年以上たって，その双対にある共点定理「円錐曲線の外接する６辺形の対角線は１点で交わる」が発見されたのですが，それがブリアンションの定理です．
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【２】射影幾何学におけるパップスの定理とパスカルの定理
［１］パップスの定理
直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃ，もう一つの直線上に３点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとる．ＡＢ’とＡ’Ｂの交点をＰ，ＢＣ’とＢ’Ｃの交点をＱ，ＡＣ’とＡ’Ｃの交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．
すなわち，２直線上にすべての頂点がのっている６角形の反対側の位置にある辺同士の交点は同一直線上にあるというのが，射影幾何学におけるパップスの定理である．
パスカルの定理「円錐曲線すなわち楕円，双曲線，放物線に内接する任意の六角形の三組の対辺の交点は同一直線上にある．」は円錐曲線が既約でない場合にも成り立つといわけで，これを発見したのもパップスである．直線は無限半径をもつ円であるが，２本の直線からなる退化した円錐曲線を考えれば容易にこの定理にたどりつくであろう．パップスの定理はパスカルが２次曲線について発見した定理の特別な場合になっているので，パスカル・パップスの定理ともいわれる．
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【３】有限射影平面（パップスの配置とファノの配置）
パップスの配置には９個の点と各々３つの点をもつ９本の直線が含まれています．それに対して，ファノの配置は７つの点，各々３つの点をもつ７本の「射影直線」よりなり，このことが射影平面の双対性と結びついてきます．さらに，一般に有限射影平面についてち述べておきましょう．
１本の直線上にｎ個の点があるアフィン平面をｎ次のアフィン平面と呼びます．有限アフィン平面Ｆq×Ｆqは
｛（ｘ，ｙ）｜ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙはＦqに属する｝
で定義されるものです．ｎ次のアフィン平面では１点を通る直線はｎ＋１本で，ｎ^2個の点がありますから，全部で
ｎ^2（ｎ＋１）／ｎ＝ｎ（ｎ＋１）
本の直線があります．
最も簡単な有限アフィン平面はＺ2×Ｚ2で，４個の点を四面体状に結んだものです．また，ｎ次のアフィン平面上では平行な直線はｎ本あり，平行な直線同士を集めた組がｎ＋１組あります．
アフィン平面では平行な直線が存在しましたが，しかし，すべての直線が交点をもつとしても矛盾を生じない幾何学の体系を考えることができます．アフィン平面に無限遠点，無限遠直線を加えて完備化すると射影平面が得られますが，完備化により点の数がｎ＋１個，直線が１本増えます．したがって，ｎ次射影平面における点の数はｎ^2＋ｎ＋１，直線の数もｎ（ｎ＋１）＋１＝ｎ^2＋ｎ＋１で等しくなります．いいかえれば有限射影平面では各直線にｎ＋１個の点を含み，各点を通ってｎ＋１本の直線が引けることとなります．
これを
ｑ＝ｎ^2＋ｎ＋１
とおきますが，たとえば，２次の射影平面は７つの点，７本の直線よりなり，このことが射影平面の双対性と結びついてきます．
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最も簡単な射影平面は，有限体Ｚ2上の２次元射影幾何であって，ファノ平面と呼ばれています．そして，７個の点ｐ1〜ｐ7を（１〜７）と略記することにして，例えば，７本の直線上の３点の組を（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の７組の体系は射影幾何の公理系を満たすことになります．
そして，ｑ行ｑ列の行列Ａ＝｛ａij｝を
ａij＝１・・・直線ｌiが点ｐjを通るとき
０・・・そうでないとき
と定めると，成分が０か１の行列を得ることができます．
［１，１，１，０，０，０，０］
［１，０，０，１，１，０，０］
［１，０，０，０，０，１，１］
Ａ＝［０，１，０，１，０，１，０］
［０，１，０，０，１，０，１］
［０，０，１，１，０，０，１］
［０，０，１，０，１，１，１］
この結合組の例では対称行列になりましたが，一般的には対称行列とはなりません．また，この行列では，各点は３本の直線に含まれるので，各行には１が３回現れます．また，各直線は３個の点を通るので，各列にはやはり１が３回現れます．そして，すべての成分が１である行列をＪとすると，行列Ａは
［３，１，１，１，１，１，１］
［１，３，１，１，１，１，１］
［１，１，３，１，１，１，１］
Ａ’Ａ＝ＡＡ’＝［１，１，１，３，１，１，１］
［１，１，１，１，３，１，１］
［１，１，１，１，１，３，１］
［１，１，１，１，１，１，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
ＡＪ＝ＪＡ＝［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
となります．Ａ’は直線と点を入れ替えた双対射影平面です．
ここでは２次の射影平面の場合でしたが，ｎ次の射影平面の場合，対角成分はｎ＋１となります．対角成分はｐiを通る直線の数，非対角成分はｐi，ｐjを通る直線の数を表しているというわけです．
射影幾何学の有名な定理：デザルグの定理やパップスの定理は有限射影平面でも成立します．なお，ｎ＝４ｋ＋１，４ｋ＋２の場合にｎ次の射影平面が存在すれば，
ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2
となる整数が存在するということも証明されています．このことから（ｎは５，７，９にはなりうるが）ｎ＝６，１４，２１，２２，・・・の場合，ｎ次の射影平面が存在しないことがわかります．
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