平行四辺形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄをそれぞれ辺ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ，ＡＢの中点と結んで，中央に小さい平行四辺形を作る．この小さい平行四辺形の面積は，もとの平行四辺形の面積の１／５に等しい．次に，平行四辺形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄをそれぞれ辺ＣＤ，ＤＡ，ＡＢ，ＢＣの中点と結んでも中央に小さい平行四辺形が得られる．この小さい平行四辺形が重なった部分は点対称な８角形で，その面積はもとの平行四辺形の面積の１／６に等しい．

　このとき，重なっている小さい平行四辺形は互いの辺を３等分するのではなく，辺を分割する比は４：５：３になっている（中川宏）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（�T）平行四辺形の頂点と向かいの辺の中点をむすぶ線分は，４頂点と４中点のいずれかを両端とするすべての線分によって，６：４：５：３：２：１０の比に分割される．

（証）平行四辺形の中線定理により，線分DEにおいて，

　　2(d+a)=b+c+e+f　・・・�@

　 a+d=2b=f=e+c　・・・�A

三角形ＡＬＤにおいて，ALとMKは平行なので，

　　a+b+c=e+f　・・・�B

三角形ＡＢＨにおいて，BHとELは平行なので，

　　2d=BH=e+f=a+b+c

　　4d=a+b+c+e+f ・・・�C

�@と�Cから，3a=2d

　三角形ＡＥＧと三角形ＭＮＰは合同なので，d:a＝c:e

よって，f=10とおくと，a+d=10，d=6，a=4，b=(a+d)/2=5，c+e=5，c=3，e=2

となり，線分ＥＤは，６：４：５：３：２：１０に分割されていることがわかった．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（�U）平行四辺形の対角線は，４頂点と４中点のいずれかを両端とするすべての線分によって，３：１：２：２：１：３の比に分割される．

（証）平行四辺形の中線定理により，ＢＧ＝２ＧＮ

Ｇは三角形ＥＭＮの重心なので，ＮＧ＝２ＧＱ

したがって，ＢＧを４とおくと，ＢＱ：ＱＧ：ＧＮ＝３：１：２

よって，平行四辺形の対角線は頂点と中点のどれかを結ぶ線分によって，３：１：２：２：１：３に分割されていることになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝