【１】正ｎ角形の対角線の交点数は？
正ｎ角形の対角線に多重交点がなければＩ＝nＣ4となります．ｎが奇数の場合は多重交点がないのでこれが正解ですが，ｎが偶数のときは中心では必ずｎ／２本の対角線が交わります．
また，ｎが６以上の偶数の場合は必ず多重交点が存在します．多重度は最大でも７を超えないことが確認されていて，６重点以上はｎが３０の倍数でないと出現しません．
この後は代数的な議論に加え，煩雑な場合分けと例外処理が必要となります．ここで，関数
δm（ｎ）＝１ （ｎはｍの倍数）
δm（ｎ）＝０ （それ以外）
を用います．すなわち，ｎがｍの倍数ならば１，それ以外ならば０となる関数です．
正ｎ角形の対角線の交点数の公式には，
ｍ＝２，４，６，１２，１８，２４，３０，４２，６０，８４，９０，１２０，２１０
が出現し，次のようなものになります．
Ｉ＝nＣ4＋（−５ｎ^3＋２４ｎ^2−７０ｎ＋２４）／２４・δ2（ｎ）＋３ｎ／２・δ4（ｎ）＋（−４５ｎ^2＋２６２ｎ）／６・δ6（ｎ）＋４２ｎ・δ12（ｎ）＋６０ｎ・δ18（ｎ）＋３５ｎ・δ24（ｎ）−３８ｎ・δ30（ｎ）−８２ｎ・δ42（ｎ）−３３０ｎ・δ60（ｎ）−１４４ｎ・δ84（ｎ）−９６ｎ・δ90（ｎ）−１４４ｎ・δ120（ｎ）−９６ｎ・δ210（ｎ）
たとえば，
Ｉ（６）＝１３
Ｉ（１２）＝３０１
Ｉ（１８）＝１８３７
Ｉ（１８０）＝４０８４１４６１
また，正ｎ角形をすべての対角線で分断したときの断片数は，
Ｒ＝（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ^2−３ｎ＋１２）／２４＋（−５ｎ^3＋４２ｎ^2−４０ｎ−４８）／４８・δ2（ｎ）−３ｎ／４・δ4（ｎ）＋（−５３ｎ^2＋３１０ｎ）／１２・δ6（ｎ）＋４９ｎ／２・δ12（ｎ）＋３２ｎ・δ18（ｎ）＋１９ｎ・δ24（ｎ）−３６ｎ・δ30（ｎ）−５０ｎ・δ42（ｎ）−１９０ｎ・δ60（ｎ）−７８ｎ・δ84（ｎ）−４８ｎ・δ90（ｎ）−７８ｎ・δ120（ｎ）−４８ｎ・δ210（ｎ）
Ｒ（６）＝２４
Ｒ（１２）＝４４４
Ｒ（１８）＝２４６６
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【２】円の最大分割数
正ｎ角形にすべての対角線を引いたときにできる断片数についてはわかったが，それでは・・・
（問）円周上にｎ点をとり，円周上の点同士をすべて互いに弦で結ぶ（ｎ点は同一円周上に等間隔に配置されているとは限らない）．その際，円の分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｍnはいくつになるか？
（答）Ｍ1＝１，Ｍ2＝２は明らか．また，円に内接する三角形，四角形，五角形を描くと
Ｍ3＝４，Ｍ4＝８，Ｍ5＝１６
このことから，
Ｍn＝２^(n-1)
であると予想されます．しかし，この式ではＭ0＝１／２となってしまい，Ｍ0＝１とならないことが気にかかるところです．
ｎ＝６の場合を実際にやってみると，正六角形のように３本の線が１点で交わってしまう場合は最大領域数にならないのでＮＧですが，第６の点が既存の弦の交点を通らないように注意すると，Ｍ6＝３２ではなく，Ｍ6＝３１となることがわかります．
ここで
Ｍn＝２^(n-1)
は間違いであることに気づかされるのですが，さらに
Ｍ7＝５７，Ｍ8＝９９，Ｍ9＝１６３，Ｍ10＝２５６，Ｍ11＝３８６
となり，数列
｛１，２，４，８，１６，３１，５７，９９，１６３，２５６，３８６，・・・｝
は，公比２の等比数列
｛１，２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，・・・｝
から大きく離れていきます．
それでは一般式はどのように表されるのでしょうか？ 図を描きながらパターンを探してみると，円周上に３点がある場合は三角形の外側に３つの領域，内側に１つの領域，４点の場合は四角形の外側に４つの領域，内側に４つの領域ができる．
４＝３＋１，８＝４＋４
円周上に５点がある場合は五角形の外側に５つの領域，すぐ内側に１０個の三角形領域，中心部に五角形がひとつある．
１６＝５＋１０＋１
円周上に６点がある場合は六角形の外側に６つの領域，すぐ内側に１８個の三角形領域，その内側に３つの五角形と３つの四角形，そして中心部に三角形がひとつある．
３１＝６＋１８＋６＋１
しかしこのパターンからはどうしてもこれといったアイディアが浮かばないのですが，領域の数は弦の数や交点の数と関係していることは明らかであって，前者はnＣ2，後者はnＣ4で計算されます．
図なしにこれ以上説明することは難しいので，結論を述べますが
［参］コンウィイ・ガイ「数の本」シュプリンガー・フェアラーク東京
には，すべての領域にラベルを与えると，ラベルを含む数の個数は０，１，２，３，４のいずれかであって，２項係数の和
Ｍn＝n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋n-1Ｃ3＋n-1Ｃ4
＝１＋（ｎ−１）＋（ｎ−１）（ｎ−２）／２＋（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／６＋（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）／２４
＝（ｎ^4−６ｎ^3＋２３ｎ^2−１８ｎ＋２４）／２４
となることが示されています．
パスカルの三角形のはじめの５項の和というわけですが，
n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋n-1Ｃ3＋n-1Ｃ4＋・・・＋n-1Ｃn-1＝２^(n-1)
ですから，ｎが大きくなればその答えは２^(n-1)からますます離れていくというわけです．
Ｍn＝n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋n-1Ｃ3＋n-1Ｃ4
Ｍn＝ｎ＋nＣ4＋n-1Ｃ2
Ｍn＝nＣ4＋nＣ2−１
Ｍ1＝１，Ｍ2＝２，Ｍ3＝４，Ｍ4＝８，Ｍ5＝１６，
Ｍ6＝３１，Ｍ7＝５７，Ｍ8＝９９，Ｍ9＝１６３，Ｍ10＝２５６，
Ｍ11＝３８６，Ｍ12＝５６２，Ｍ13＝７９４，Ｍ14＝１０９３，
Ｍ15＝１４７１，Ｍ16＝１９４１，Ｍ17＝２５１７，Ｍ18＝３２１４，
Ｍ19＝４０４８，Ｍ20＝５０３６，Ｍ21＝６１９６，Ｍ22＝７５４７，
Ｍ23＝９１０９，Ｍ24＝１０９０３，Ｍ25＝１２９５１，Ｍ26＝１５２７６，
Ｍ27＝１７９０２，Ｍ28＝２０８５４，Ｍ29＝２４１５８，Ｍ30＝２７８４１，
Ｍ31＝３１９３１，・・・
数列
｛Ｍn｝＝｛１，２，４，８，１６，３１，５７，９９，１６３，・・・｝
をこの問題を提起したモーザーにちなんでモーザー数列と呼ぶことにすると，モーザー数列は先入観から間違った答えを予想してしまう例としてしばしば引き合いにだされるものになっています．
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【３】円の最大分割数（おまけ）
（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？
（答）パンケーキをｎスライスしたときの最大ピース数を求めよという問題ですが，この問題は実は円という条件を取り去っても同じ答えになります．すなわち，平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？
分割される領域数が最大になるためには，新しい線（弦）を引くとき，それ以前のすべての線（弦）と新しい交点で交わるようにします．既存の交点を通ると分割される領域が最大数にならないからです．
Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７
はすぐに求められます．このことからｎ本目の線（弦）を引くと新しい領域がｎ個増えることがわかります．これを式で表すと
Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ
Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ
Ｓn-1＝Ｓn-2＋ｎ−１
・・・・・・・・・・
Ｓ1＝Ｓ0＋１
Ｓ0＝１
を辺々加えると，一般式
Ｓn＝１＋（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）＝１＋ｎ（ｎ＋１）／２
＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２
が得られます．
Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７，
Ｓ4＝１１，Ｓ5＝１６，Ｓ6＝２２，Ｓ7＝２９，
Ｓ8＝３７，Ｓ9＝４６，Ｓ10＝５６，・・・
と続くというわけです．
パンケーキではなく，ケーキをｎスライスしたときの最大ピース数を求めよという問題では，
Ｓn＝（ｎ＋２）（ｎ＋３）／６
Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，
Ｓ4＝１５，Ｓ5＝２６，Ｓ6＝４２，Ｓ7＝６４，
Ｓ8＝９３，Ｓ9＝１３０，Ｓ10＝１７６，・・・
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