三角形を７等分したときに，
(1)正三角形
(2)√２：√３：√５の直角三角形
(3)１：√３：２の直角三角形
の場合には元の図形と相似になることがわかったのだが，他にはないのかどうか調べてみた（中川宏）．
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まず，下図のように座標をとった．７等分された三角形の最も長い辺の長さを１とし，その向かいの頂点の座標を（a,h）とした(h<0）．このとき，７等分された三角形の３辺の長さに関しては，
α^2＝a^2+h^2
β^2＝(1+a)^2+h^2
γ＝１
もとの三角形の３辺の長さに関しては，
Ａ^2＝(2-3a)^2+9h^2
Ｂ^2＝(1+2a)^2+4h^2
Ｃ^2＝(3-a)^2+h^2
と表すことが出来る．
さて，もとの三角形の辺の長さと７等分された辺の長さが決まりきった対応関係にあれば話は易しいのだが，この場合は形状によっていくつかの入れ替わりかたがあることが経験的にわかっている．そこで，すべての組み合わせを網羅して漏れをなくす必要がある．すべての組み合わせは，
①α－Ａ ②α－Ａ ③α－Ｂ ④α－Ｂ ⑤α－Ｃ ⑥α－Ｃ
β－Ｂ β－Ｃ β－Ｃ β－Ａ β－Ａ β－Ｂ
γ－Ｃ γ－Ｂ γ－Ａ γ－Ｃ γ－Ｂ γ－Ａ
である．
相似比が１：７なのでたとえば①の組み合わせの場合は，
７α^2＝Ａ^2，７β^2＝Ｂ^2，７γ^2＝Ｃ^2
の３式を満たす解が存在するかどうか，さきほどの数値を代入して確かめてみた．
７（a^2+h^2）＝（２－３a）^2＋９h^2
７｛（１－a）^2＋h^2｝＝（１－２a）^2＋４h^2
７＝（３－a）^2＋h^2
これらは，
２a^2－１２a＋２h^2＋４＝０
３a^2－１８a＋３h^2＋６＝０
a^2－６a＋h^2＋２＝０・・・・（＊）
となり，同じ式となった．
この式に意味があるかどうかを確かめるために特定の値を入れてみた．a＝１のとき，ｈ＝√３となり，これは１：√３：２の直角三角形と一致した．a＝１/２のとき，ｈ＝√３/２となり，これは正三角形を示した．
②から⑥の場合もすべて調べてみた．①とおなじような結果を示したのは，③の場合である．３式とも，
３a^2－４a＋３h^2－１＝０・・・・（＊＊）
となった．この式は，a＝１のとき，ｈ＝√３/２となり，これは，√２：√３：√５の直角三角形と一致した．a＝１/２のとき，ｈ＝√３/２となり，これは正三角形を示した．
また，②と⑥の場合は，唯一の解a＝１/２，ｈ＝√３/２が求まった．これは正三角形を示している．残りの④と⑤の場合はそれぞれの３式を満たす解がなかった．
次に，（＊），（＊＊）式にa＝１，a＝１/２以外の値を適当に入れて作図してみた．左が（＊）式においてa＝２の場合，右は（＊＊）式においてa＝３/４の場合である．いずれも相似図形となった．また，左のように鈍角三角形もカバーしている．
以上の検討から，（＊）（＊＊）の両式は有効とみなしうるので，hが正の数の範囲において，７等分した三角形が元の三角形と相似図形になる（a,h）の組み合わせを図示する．
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