一般に，ｐを素数，ｋをｐ−１で割り切れない正の整数とするとき，
１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k
の分子はｐで割り切れる
＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k
がｐで割り切れることが示されています．すなわち，
１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k＝０ （ｍｏｄ ｐ）
１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k＝０ （ｍｏｄ ｐ）
ですが，（その１）では
１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k
＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k （ｍｏｄ ｐ）
であることを証明なしに用いました．
これは，
１＝１，１／２^k＝２^k，１／３^3＝３^k，・・・，１／（ｐ−１）^k＝（ｐ−１）^k （ｍｏｄ ｐ）
という意味ではありません．各逆数１／１，１／２^k，・・・，１／（ｐ−１）^k （ｍｏｄ ｐ）は，すべての剰余１，２^k，・・・，（ｐ−１）^k （ｍｏｄ ｐ）をきっかり１回だけ覆うという意味で，再配列によって
１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k
＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k （ｍｏｄ ｐ）
となるのです．
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【１】ｍｏｄ算術
ｍｏｄ算術を扱う場合，１／２のような数はある整数と同値である．たとえば，
１／２＝６／２＝３ （ｍｏｄ ５）
１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋１３＋１７＋１９＝０ （ｍｏｄ ２５）
ｘ^2＋３ｘ＋２＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）
は整数係数のおなじみの因数分解の問題であるが，足して３，掛けて２となる２数を見つければよい．１と２がこれを満たすわけであるから，答えは右辺のようになる．
それでは，以下の例はどうであろうか？
ｘ^2＋４＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）
ｘ^2＋２ｘ＋２＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）
一見分解できなさそうに見える左辺が，右辺のように１次式の積として表されているのだから明らかな誤りと映るに違いない．ところがこれが正しいのである．
そんな馬鹿なと思われるかもしれないが，実はこの因数分解のトリックは「有限体」にある．整数や有理数，実数や複素数の元は無限個あり，演算規則が定義されている．整数は環をなし，有理数，実数，複素数，４元数，ｐ進数は体をなす．このことから，体の定義を思い出してほしいのだが，０以外の元が常に乗法に関する逆元をもつ数体系を「体」という．
そして，有限個の元と体の構造をもつ数体系が「有限体」である．有限体は，計算機や通信などでいまや花形の数学の理論となっている．そんなわけで，今回のコラムでは有限体を係数にもつ多項式の因数分解を扱うことにした．
なお，代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４＝２^2，５の体は存在するが，位数６＝２×３の体は存在しない．そして，位数７，８＝２^3，９＝３^2の体は存在して，位数１０＝２×５のものは存在しない．
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【２】有限環と有限体
整数には奇数と偶数がありますが，
ＯＤＤ＝１，ＥＶＥＮ＝０
として，加法と乗法を定義すると
＋ ０ １ × ０ １
０ ０ １ ０ ０ ０
１ １ ０ １ ０ １
となります．
偶数か奇数かは２で割ったときの余りで識別できますが，同様に３で割ったときの余りで分類した数体系を考えます．余りは０，１，２のどれかですから，
＋ ０ １ ２ × ０ １ ２
０ ０ １ ２ ０ ０ ０ ０
１ １ ２ ０ １ ０ １ ２
２ ２ ０ １ ２ ０ ２ １
のような演算を定義することができるわけです．
もう少し続けてみることにしましょう．ｎ＝４のとき
＋ ０ １ ２ ３ × ０ １ ２ ３
０ ０ １ ２ ３ ０ ０ ０ ０ ０
１ １ ２ ３ ０ １ ０ １ ２ ３
２ ２ ３ ０ １ ２ ０ ２ ０ ２
３ ３ ０ １ ２ ３ ０ ３ ２ １
ｎ＝５のとき
＋ ０ １ ２ ３ ４
０ ０ １ ２ ３ ４
１ １ ２ ３ ４ ０
２ ２ ３ ４ ０ １
３ ３ ４ ０ １ ２
４ ４ ０ １ ２ ３
× ０ １ ２ ３ ４
０ ０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３ ４
２ ０ ２ ４ １ ３
３ ０ ３ １ ４ ２
４ ０ ４ ３ ２ １
その算法（和と積）はそれぞれ和，積のｍｏｄ５での余りとなります．足し算では巡回するだけで面白味がないので，これ以降はかけ算だけを続けてみます．
ｎ＝６のとき
× ０ １ ２ ３ ４ ５
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３ ４ ５
２ ０ ２ ４ ０ ２ ４
３ ０ ３ ０ ３ ０ ３
４ ０ ４ ２ ０ ４ ２
ｎ＝７のとき
× ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
２ ０ ２ ４ ６ １ ３ ５
３ ０ ３ ６ ２ ５ １ ４
４ ０ ４ １ ５ ２ ６ ３
５ ０ ５ ３ １ ６ ４ ２
６ ０ ６ ５ ４ ３ ２ １
いずれのかけ算の表でも，
１）０の行・列はすべて０
２）主対角線に関して対称
です．また，０以外の行・列では，ｎ＝２，３，５，７の場合，０〜ｎ−１が一度ずつ現れましたが，ｎ＝４，６ではそうはならず，非常に大きな違いがあることに気づきます．
ａ・ａ^(-1)＝１となるａ^(-1)をａの逆元といいます．ｎ＝７の表で説明すると，１の逆元は１，２の逆元は４，３の逆元は５，４の逆元は２，５の逆元は３，６の逆元は６となるというわけです．
０以外の元が常に乗法に関する逆元をもつ数体系を「体」といいますが，以上の結果において，２，３，５，７は素数，４，６は合成数ですから，集合
｛０，１，２，・・・，ｎ−１｝
はｎが素数のとき体となる，合成数のとき環であって体ではないことを示しているのです．
重要なのは，
「ｐが素数のとき，Ｚ／ｐＺは体である．」
ということで，素数ｐで割ったときの余りで分類した数体系を考えると，ｐ個の元からなる有限体ができあがります．そして，素数ｐに対して定まる有限体をＦpと書きます．
Ｆ7＝｛０，１，２，３，４，５，６｝
はあるが，Ｆ6というものは存在しないというわけです．
なお，有限体は乗法の交換法則を満たすので可換体となります．有限体が必ず可換体になることを証明したのはウェダーバーンです（１９０５年）．
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有限体Ｆpの０以外の元をａとします．このとき，ａをｐ回足すとはじめて０になります．素数７を例にとって，Ｆ7でａ＝３を何回もたしてみると
３＋３＝６
３＋３＋３＝６＋３＝２
３＋３＋３＋３＝２＋３＝５
３＋３＋３＋３＋３＝５＋３＝１
３＋３＋３＋３＋３＋３＝１＋３＝４
３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＝４＋３＝０
このｐを有限体Ｆpの標数といいます．
また，ａをｐ−１回掛けると１になります．Ｆ7において
ａ＼^n １ ２ ３ ４ ５ ６
１ １ １ １ １ １ １
２ ２ ４ １ ２ ４ １
３ ３ ２ ６ ４ ５ １
４ ４ ２ １ ４ ２ １
５ ５ ４ ６ ２ ３ １
６ ６ １ ６ １ ６ １
最後の列はすべて１です．
このように，ｐで割り切れない整数ａに対して，フェルマーの定理
ａ^(p-1)＝１ （ｍｏｄ ｐ）
が成り立つというわけです．また，このことからａ^(p-2)がａの逆元となることも理解されます．
１／ａ＝ａ^(p-2)
Ｆ7では，
１／３＝３^5＝５，１／６＝６^5＝６
なお，この表において，１は１乗してはじめて１になりますが，２は３乗して，３は６乗して，４は３乗して，５は６乗して，６は２乗してはじめて１になります．ｐと互いに素な整数ａがｐ−１乗してはじめて１になるとき，ａを原始根といいます．Ｆ7においては３，５が原始根です．
Ｆpにおける原始根ａが与えられたとき，０以外のすべての元は，
ａ^i （i=0〜p-2）
の形に表すことができます．
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【３】Ｆp係数多項式（方程式）
次に，有限体Ｆpを係数にもつ１変数多項式の集合Ｆp［ｘ］を考えます．たとえば，
ｘ^2＋２ｘ＋３
において，ｍｏｄ５の多項式と考えるというのは，係数がｍｏｄ５で合同な多項式はすべて同じものと見なすということです．
ｘ^2＋２ｘ＋３
＝ｘ^2＋７ｘ＋８
＝６ｘ^2−３ｘ＋３
＝−４ｘ^2−１２ｘ−２３
Ｆp［ｘ］が環をなすことは簡単に証明できます．
冒頭に掲げた問題は，Ｆ5において，多項式を１次式の積として表せというものなのですが，整数係数のときのように足して３，掛けて２となる２数１，２はＦ5でも１と２でよく，答えは
ｘ^2＋３ｘ＋２＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）
となります．
ｘ^2＋４
では足して０，掛けて４となる２数は整数ではあり得ませんが，前述の足し算とかけ算と表を見ると，Ｆ5では１と４がこれを満たすので，
ｘ^2＋４＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）
同様に足して２，掛けて２はＦ5では３と４より，
ｘ^2＋２ｘ＋２＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）
となります．
この例ではＦ5だったので，前述の足し算とかけ算と表を見ながらやるとわかりやすいのですが，ｐが大きくなると簡単ではなくなります．そこで，因数定理「ｎ次方程式ｆ（ｘ）＝０がαを根にもつならば，
ｇ（ｘ）＝（ｘ−α）ｑ（ｘ）
という形に分解できる」を用いることにします．
この定理は（普通の）多項式の因数分解の方法を与えているのですが，Ｆp係数のｎ次方程式がＦpの中に根をもつ場合でも適用され，確実でしかも速いやり方になっています．
たとえば，
ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋４
とおいて，ｘに順次０から４まで代入して，ｍｏｄ５として計算してゆくと
ｆ（０）＝４，ｆ（１）＝５＝０，ｆ（２）＝８＝３，ｆ（３）＝１３＝３，ｆ（４）＝２０＝０
より，ｆ（ｘ）＝０の２根は１（＝−４）と４＝−１．したがって，
ｘ^2＋４＝（ｘ−１）（ｘ−４）＝（ｘ＋４）（ｘ＋１）
同様に，
ｇ（ｘ）＝ｘ^2＋２ｘ＋２
では
ｇ（０）＝２，ｇ（１）＝５＝０，ｇ（２）＝１０＝０，ｇ（３）＝１７＝２，ｇ（４）＝２２＝２
より，ｇ（ｘ）＝０の２根は１（＝−４）と２（＝−３）の２個．したがって，
ｘ^2＋２ｘ＋２＝（ｘ−１）（ｘ−２）＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）
普通にできる因数分解も，有限体Ｆ5上で考えると
ｈ（ｘ）＝ｘ^2＋３ｘ＋２
ｈ（０）＝２，ｈ（１）＝６＝１，ｈ（２）＝１２＝２，ｈ（３）＝２０＝０，ｈ（４）＝３０＝０
したがって
ｘ^2＋３ｘ＋２＝（ｘ−３）（ｘ−４）＝（ｘ＋２）（ｘ＋１）
このように，任意のＦp係数多項式Ｆp［ｘ］は有限個の既約多項式の積に分解されるのですが，整数と同様に，この分解は係数の違いを無視すれば一意に決まります．
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