「ある有名な数論の定理」（その４），（その６）ではウォルステンホルムの定理
「ｐが２，３以外の素数ならば有限調和級数（既約分数）
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子はｐ^2で割り切れる．たとえば，ｐ＝５のとき，この分数は２５／１２となり，その分子はｐ^2で割り切れる．」
を紹介した．
この問題は素数ｐによる整除性ではなく，素数の平方ｐ^2による整除性なのでかなり難しい問題である．そこで，今回コラムでは注釈を加えて再掲する．
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【１】ウォルステンホルムの定理（１８６２年）
（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば，既約分数
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子はｐ^2で割り切れることを証明せよ（１８６２年）．
（Ａ）１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）を通分すれば，分母は（ｐ−１）！である．ウィルソンの定理より
（ｐ−１）！＝−１ （ｍｏｄ ｐ）
であるから分母はｐで割り切れない．したがって，
Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
がｐ^2で割り切れることを証明すればよいことになる．
Ｓは１，２，・・・ｐ−１からｐ−２個とったあらゆる組合せの積の和である．そこで
Ｆ＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）
＝ｘ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｘ＋Ａp-1
と書けば，根と係数の関係より
Ａp-1＝（ｐ−１）！
Ａp-2＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
ｘ＝ｐとおけば
（ｐ−１）！＝ｐ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｐ＋Ａp-1
ｐ^p-2−Ａ1ｐ^p-3＋・・・＋Ａp-3ｐ−Ａp-2＝０
Ｓ＝Ａp-2であるから，ここでｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえれば，ｐ＞３のときｐ^2｜Ａp-2．２項係数pＣkを(p,k)と書くことにすると，
ｐ｜(p,k) (k:1~p-1)
であるから，Ａ1〜Ａp-1を２項係数で表すことができればｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえたことになる．
ｘＦ＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）
＝ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1ｘ
ｘをｘ−１で置き換えれば
（ｘ−１）^p−Ａ1（ｘ−１）^p-1＋・・・−Ａp-2（ｘ−１）^2＋Ａp-1（ｘ−１）
＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）（ｘ−ｐ）
＝（ｘ−ｐ）（ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1）
ここでｘ^kの係数を比べると
Ａ1＝(p,2)，
２Ａ2＝(p,3)+(p-1,2)Ａ1，
３Ａ3＝(p,4)+(p-1,3)Ａ1+(p-2,2)Ａ2，
（ｐ−１）Ａp-1＝１＋Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａp-2
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【２】ウォルステンホルムの定理の別証明
（ｐ−１）！とｐは互いに素であるから
Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
がｐ^2で割り切れることと
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０ （ｍｏｄ ｐ^2）
は同値である．
ｍｏｄ算術を扱う場合，１／２のような数はある整数と同値である．たとえば，
１／２＝６／２＝３ （ｍｏｄ ５）
１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋１３＋１７＋１９＝０ （ｍｏｄ ２５）
素数ｐによる整除性ではなく，素数の平方ｐ^2による整除性なのでかなり難しい問題である．そこで，素数による整除性の問題に帰着させてより解きやすいものにしたい．そこでまず
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０ （ｍｏｄ ｐ）
を証明するしよう．
１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋３＋２＋４＝０ （ｍｏｄ ５）
であるが，
４＝−１，３＝−２ （ｍｏｄ ５）
を使えば，
１＋１／２＋１／３＋１／４＝１−２＋２−１＝０ （ｍｏｄ ５）
同様に，
ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・ （ｍｏｄ ｐ）
であるから
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０ （ｍｏｄ ｐ）
を証明することができる．
次に，１／１と１／（ｐ−１），１／２と１／（ｐ−２），・・・をペアに組ませると
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１） （ｍｏｄ ｐ^2）
＝１＋１／（ｐ−１）＋１／２＋１／（ｐ−１）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋１／（（ｐ＋１）／２）
＝ｐ（１／（ｐ−１）＋１／２（ｐ−２）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋（ｐ＋１）／２） （ｍｏｄ ｐ^2）
したがって，
１／（ｐ−１）＋１／２（ｐ−２）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋（ｐ＋１）／２＝０ （ｍｏｄ ｐ）
ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・ （ｍｏｄ ｐ）
であるから，
１／１^2＋／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2＝０ （ｍｏｄ ｐ）
が成り立つことをを示しさえすればよい．
１／１^2＋／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2＝１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｐ−１）^2＝（ｐ−１）ｐ（２ｐ−１）／６＝０ （ｍｏｄ ｐ）
となって証明了．
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【３】ウォルステンホルムの定理の拡張
（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば
Ｓ＝（（ｐ−１）！）^2（１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2）
がｐで割り切れることを証明せよ．
ｐが２，３以外の素数ならば有限調和級数
１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2
の分子はｐで割り切れる，したがってｐが素数のときに限り分子はｐで割り切れるというものです．
（Ａ）
１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2
の分子は
（Ａp-2）^2−２（ｐ−１）！Ａp-3
であり，ｐで割り切れる．
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同様に
「ｐが素数でｐ＞５であるときに限り，
１＋１／２^3＋１／３^3＋・・・＋１／（ｐ−１）^3
の分子はｐ^2で割り切れる」
「ｐが素数でｐ＞７であるときに限り，
１＋１／２^4＋１／３^4＋・・・＋１／（ｐ−１）^4
の分子はｐで割り切れる」
１８１９年，バベッジは
（２ｐ−１，ｐ−１）＝１ （ｍｏｄ ｐ^2）
に気づきましたが，１８６２年，ウォルステンホルムは
（２ｐ−１，ｐ−１）＝１ （ｍｏｄ ｐ^3）
を証明したことになります．
一般に，ｐを素数，ｋをｐ−１で割り切れない正の整数とするとき，
１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k
の分子はｐで割り切れる
＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k
がｐで割り切れることが示されています．
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【４】ウォルステンホルム素数
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子をウォルステンホルム数と呼びますが，もし，
（２ｐ−１，ｐ−１）＝１ （ｍｏｄ ｐ^4）
が成り立つとき，ｐをウォルステンホルム素数と呼びます．ウォルステンホルム素数はいまのことろ１６８４３と２１２４６７９は発見されているだけだそうです．
なお，
１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｎ−１）^2
の分子であるウォルステンホルム数の因数分解の結果は三島久典氏のＨＰ
http://www.asahi-net.or.jp/-KC2H-MSM/mathland/matha1/jindex.htm
に掲載されているそうです．
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