［１］正ｖ角形（頂点数ｖ）が半径１の球に内接しているとき

　　［２］正多面体（頂点数ｖ）が半径１の球に内接しているとき

いずれの場合であっても，すべての辺と対角線の長さの平方和はｖ^2で与えられることが確かめられた．ここまでくれば４次元の正多胞体の場合もそうに違いない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正５胞体

　（１，０，０，０），（０，１，０，０），（０，０，１，０），（０，０，０，１），（（１−τ）／２，（１−τ）／２，（１−τ）／２，（１−τ）／２）を頂点とする１辺の長さ√２の正５胞体を考える．重心は（（３−τ）／１０，（３−τ）／１０，（３−τ）／１０，（３−τ）／１０）であるから，外接球の半径は２／√５．

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝４

　　Ｖ＝５，Ｋ＝５／４

　　ＳＳ1＝５／２

　　ＳＳ2＝２５＝Ｖ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】正８胞体

　（±１，±１，±１，±１）を頂点とする１辺の長さ２，外接球の半径２の正８胞体を考える．

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝４

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝６

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝４

　　Ｌ4＝４，Ｎ4＝１

　　Ｖ＝１６，Ｋ＝１／４

　　ＳＳ1＝１０

　　ＳＳ2＝２５６＝Ｖ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】正１６胞体

　（±１，０，０，０），（０，±１，０，０），（０，０，±１，０），（０，０，０，±１）を頂点とする１辺の長さ√２，外接球の半径１の正１６胞体を考える．

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝６

　　Ｌ2＝２，Ｎ2＝１

　　Ｖ＝８，Ｋ＝１

　　ＳＳ1＝６

　　ＳＳ2＝６４＝Ｖ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】正２４胞体

　正８細胞体の頂点（±１，±１，±１，±１）と正１６胞体の頂点（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）を頂点とする１辺の長さ２，外接球の半径２の正２４胞体を考える．

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝８

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝６

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝８

　　Ｌ4＝４，Ｎ2＝１

　　Ｖ＝２４，Ｋ＝１／４

　　ＳＳ1＝１０

　　ＳＳ2＝５７６＝Ｖ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【６】正６００胞体

　τ＝（１＋√５）／２とおくと，正６００胞体は正２４胞体の頂点（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）２４点と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換で表される９６点，合計１２０点を結んでできる．１辺の長さ√（６−２√５）＝√５−１＝２／τ，外接球の半径２．

　　Ｌ1＝√（６−２√５），Ｎ1＝１２

　　Ｌ2＝２，Ｎ2＝２０

　　Ｌ3＝√（１０−２√５），Ｎ3＝１２

　　Ｌ4＝２√２，Ｎ4＝３０

　　Ｌ5＝√（６＋２√５），Ｎ5＝１２

　　Ｌ6＝２√３，Ｎ6＝２０

　　Ｌ7＝√（１０＋２√５），Ｎ7＝１２

　　Ｌ8＝４，Ｎ8＝１

　　Ｖ＝１２０，Ｋ＝１／４

　　ＳＳ1＝１８

　　ＳＳ2＝１４４００＝Ｖ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【６】正１２０胞体

　４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は，σ＝（３√５＋１）／２，σ’＝（３√５−１）／２とおくと，正６００胞体の頂点を含む（±２，±２，±２，±２），（±４，０，０，０），（０，±４，０，０），（０，０，±４，０），（０，０，０，±４），（±２τ，±２，±２／τ，０）２１６点と（√５，√５，√５，１），（τ^2，τ^2，√５／τ，１／τ），（σ、１／τ，１／τ，１／τ），（τ√５，τ，１／τ^2，１／τ^2）に偶数個の負号をつけた点の置換２５６点，（σ’，τ，τ，τ），（３，√５，１，１）に奇数個の負号をつけた点の置換１２８点で与えられる．１辺の長さ√２（３−√５）＝２√２／τ^2，外接球の半径４．

　　Ｌ1＝√（２８−１２√５），Ｎ1＝４

　　Ｌ2＝√（１２−４√５），Ｎ2＝１２

　　Ｌ3＝√（２４−８√５），Ｎ3＝２４

　　Ｌ4＝２√２，Ｎ4＝１２

　　Ｌ5＝√（３６−１２√５），Ｎ5＝４

　　Ｌ6＝√（２０−４√５），Ｎ6＝２４

　　Ｌ7＝√（３２−８√５），Ｎ7＝２４

　　Ｌ8＝４，Ｎ8＝３２

　　Ｌ9＝√（２８−４√５），Ｎ9＝２４

　　Ｌ10＝√（１２＋４√５），Ｎ10＝１２

　　Ｌ11＝√（４０−８√５），Ｎ11＝２４

　　Ｌ12＝２√６，Ｎ12＝２８

　　Ｌ13＝√（３６−４√５），Ｎ13＝２４

　　Ｌ14＝√（２０＋４√５），Ｎ14＝２４

　　Ｌ15＝４√２，Ｎ15＝５４

　　Ｌ16＝√（４４−４√５），Ｎ16＝２４

　　Ｌ17＝√（２８＋８√５），Ｎ17＝２４

　　Ｌ18＝２√１０，Ｎ18＝２８

　　Ｌ19＝√（２４＋８√５），Ｎ19＝２４

　　Ｌ20＝√（５２−４√５），Ｎ20＝１２

　　Ｌ21＝√（３６＋４√５），Ｎ21＝２４

　　Ｌ22＝４√３，Ｎ22＝３２

　　Ｌ23＝√（３２＋８√５），Ｎ23＝２４

　　Ｌ24＝√（４４＋４√５），Ｎ24＝２４

　　Ｌ25＝√（２８＋１２√５），Ｎ25＝４

　　Ｌ26＝２√１４，Ｎ26＝１２

　　Ｌ27＝√（４０＋８√５），Ｎ27＝２４

　　Ｌ28＝√（５２＋４√５），Ｎ28＝１２

　　Ｌ29＝√（３６＋１２√５），Ｎ29＝４

　　Ｌ30＝８，Ｎ30＝１

　　Ｖ＝６００，Ｋ＝１／１６

　　ＳＳ1＝６２

　　ＳＳ2＝３６００００＝Ｖ^2

［補］正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．たとえば，正５胞体は（−σ，１／τ，１／τ，１／τ），（１／τ，−σ，１／τ，１／τ），（１／τ，１／τ，−σ，１／τ），（１／τ，１／τ，１／τ，−σ），（１，１，１，１）を結んでできる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝