今回のコラムでは,正多面体が半径1の球に内接しているとき,
(Q)辺と対角線のすべての相異なる長さの集合{L1,L2,・・・Ln}に対して,その集合の各要素の平方和SS1=ΣLj^2
(Q)すべての辺と対角線の長さの平方和SS2
を求めることにする.
ある頂点におけるLjの本数をNj,正多面体の頂点数をVとすると,
SS2=V/2×ΣNjLj^2
で与えられる.
また,外接球の半径をrとした場合,単位球に換算するための補正項をKとおくと,
K=1/r^2
SS1=K・ΣLj^2
SS2=K・V/2×ΣNjLj^2
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【1】正四面体
立方体の頂点をひとつおきに結んでできる(1,1,1),(1,−1,−1),(−1,1,−1),(−1,−1,1)を頂点とする1辺の長さ2√2,外接球の半径√3の正四面体を考える.
L1=2√2,N1=3
V=4,K=1/3
SS1=8/3
SS2=16=V^2
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【2】立方体
(±1,±1,±1)を頂点とする1辺の長さ2,外接球の半径√3の立方体を考える.
L1=2,N1=3
L2=2√2,N2=3
L3=2√3,N3=1
V=8,K=1/3
SS1=8
SS2=64=V^2
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【3】正八面体
(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)を頂点とする1辺の長さ√2,外接球の半径1の正八面体を考える.
L1=√2,N1=4
L2=2,N2=1
V=6,K=1
SS1=6
SS2=36=V^2
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【4】正十二面体
τ=(1+√5)/2とおくと,正十二面体は立方体の頂点(±1,±1,±1)と(±τ,±1/τ,0)の巡回置換で表される点,合計20点を結んでできる.1辺の長さ2/τ,外接球の半径√3.
L1=2/τ,N1=3
L2=2,N2=6
L3=2√2,N3=6
L4=2τ,N4=3
L5=2√3,N5=1
V=20,K=1/3
SS1=12
SS2=400=V^2
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【5】正二十面体
12点(±τ,±1,0),(±1,0,±τ,),(0,±τ,±1)を結んでできる.1辺の長さ2,外接球の半径√(τ+2).
L1=2,N1=5
L2=2τ,N2=5
L3=2√(τ+2),N3=1
V=12,K=1/(τ+2)
SS1=8
SS2=144=V^2
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【6】結果
正多面体の頂点数をVとすると,正多面体のすべての辺と対角線の長さの平方和はV^2となった.無理数でなく整数! この美とエレガンス!
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