■正多面体の辺と対角線

 今回のコラムでは,正多面体が半径1の球に内接しているとき,

(Q)辺と対角線のすべての相異なる長さの集合{L1,L2,・・・Ln}に対して,その集合の各要素の平方和SS1=ΣLj^2

(Q)すべての辺と対角線の長さの平方和SS2

を求めることにする.

 ある頂点におけるLjの本数をNj,正多面体の頂点数をVとすると,

  SS2=V/2×ΣNjLj^2

で与えられる.

 また,外接球の半径をrとした場合,単位球に換算するための補正項をKとおくと,

  K=1/r^2

  SS1=K・ΣLj^2

  SS2=K・V/2×ΣNjLj^2

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【1】正四面体

 立方体の頂点をひとつおきに結んでできる(1,1,1),(1,−1,−1),(−1,1,−1),(−1,−1,1)を頂点とする1辺の長さ2√2,外接球の半径√3の正四面体を考える.

  L1=2√2,N1=3

  V=4,K=1/3

  SS1=8/3

  SS2=16=V^2

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【2】立方体

 (±1,±1,±1)を頂点とする1辺の長さ2,外接球の半径√3の立方体を考える.

  L1=2,N1=3

  L2=2√2,N2=3

  L3=2√3,N3=1

  V=8,K=1/3

  SS1=8

  SS2=64=V^2

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【3】正八面体

 (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)を頂点とする1辺の長さ√2,外接球の半径1の正八面体を考える.

  L1=√2,N1=4

  L2=2,N2=1

  V=6,K=1

  SS1=6

  SS2=36=V^2

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【4】正十二面体

 τ=(1+√5)/2とおくと,正十二面体は立方体の頂点(±1,±1,±1)と(±τ,±1/τ,0)の巡回置換で表される点,合計20点を結んでできる.1辺の長さ2/τ,外接球の半径√3.

  L1=2/τ,N1=3

  L2=2,N2=6

  L3=2√2,N3=6

  L4=2τ,N4=3

  L5=2√3,N5=1

  V=20,K=1/3

  SS1=12

  SS2=400=V^2

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【5】正二十面体

 12点(±τ,±1,0),(±1,0,±τ,),(0,±τ,±1)を結んでできる.1辺の長さ2,外接球の半径√(τ+2).

  L1=2,N1=5

  L2=2τ,N2=5

  L3=2√(τ+2),N3=1

  V=12,K=1/(τ+2)

  SS1=8

  SS2=144=V^2

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【6】結果

 正多面体の頂点数をVとすると,正多面体のすべての辺と対角線の長さの平方和はV^2となった.無理数でなく整数! この美とエレガンス!

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