直角三角錐

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，１，０）

　　Ｐ3（１，１，１）

をtetradronと呼ぶことにする．tetradronをその最長辺の垂直２等分面で切断すると，４交点

　　（１／２，１／２，１／２）

　　（１，１／４，１／４）

　　（１，１／２，０）

　　（３／４，３／４，０）

を結ぶ図形は凧型となり，凧型面を境に２つの合同な５面体（pentadron）に分割できるというおもしろい性質がある．

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【１】ｎ次元の場合

　ｎ次元の場合，テトラドロンに相当する多面体の座標は

　　ｐ0（０，０，・・・，０）

　　ｐ1（１，０，・・・，０）

　　ｐ2（１，１，０，・・・０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１，１，１，・・・１，０）

　　ｐn（１，１，１，・・・１，１）

であるから，ｐ0ｐnを結ぶ対角線の中点

　　（１／２，１／２，１／２，・・・，１／２，１／２）

を通る超平面

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋・・・＋ｘn＝ｎ／２

と各辺の交点を求めてみる．

　４次元の場合は

　　（１／２，１／２，１／２，１／２）

　　（１，１／３，１／３，１／３）

　　（２／３，２／３，２／３，０）

　　（１，１／２，１／２，０）

と

　　ｐ2（１，１，０，０）

で交わる．したがって，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≦２の部分をとると，７頂点

　　ｑ0（０，０，０，０）

　　ｑ1（１，０，０，０）

　　ｑ2（１，１，０，０）

　　ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）

　　ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）

　　ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）

　　ｑ6（１，１／２，１／２，０）

が元素の頂点となる．ｑ2〜ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．これが７６８個で４次元立方体を組み立てることができる．同様に，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≧０の部分をとって比較すると，辺や対角線の長さが等しいことから，２つの合同な分割体になっていることがわかる．

　５次元の場合は９交点

　　（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）

　　（１，３／８，３／８，３／８，３／８）

　　（１，１，１／６，１／６，１／６）

　　（５／６，５／６，５／６，０，０）

　　（５／８，５／８，５／８，５／８，０）

　　（１，３／４，３／４，０，０）

　　（１，１／２，１／２，１／２，０）

　　（１，１，１／４，１／４，０）

　　（１，１，１／２，０，０）

で交わるから，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5≦５／２の部分をとると，１２頂点

　　ｑ0（０，０，０，０，０）

　　ｑ1（１，０，０，０，０）

　　ｑ2（１，１，０，０，０）

　　ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）

　　ｑ4（１，３／８，３／８，３／８，３／８）

　　ｑ5（１，１，１／６，１／６，１／６）

　　ｑ6（５／６，５／６，５／６，０，０）

　　ｑ7（５／８，５／８，５／８，５／８，０）

　　ｑ8（１，３／４，３／４，０，０）

　　ｑ9（１，１／２，１／２，１／２，０）

　　ｑ10（１，１，１／４，１／４，０）

　　ｑ11（１，１，１／２，０，０）

が元素の頂点となる．ｑ3〜ｑ11は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝５／２上にある．これが７６８０個で５次元立方体を組み立てることができる．これも

２つの合同な分割体になっているのである．

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