まずは基本的な事項のおさらいから・・・．正三角形面からなる多面体は無限にあるが，そのうち８つだけが凸である．８種類のうち３種類は正則であるが，ほかの５種類は正則ではない．同様に，正方形１種類では立方体のみ，正５角形１種類では正１２面体のみが得られ，正６角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできない．結局，１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類あることになるが，１種類の正多面体を生み出すのは正方形と正五角形に限られる．このことは正方形と正五角形の特殊性のひとつと考えられる．

　次に，１辺の長さが１の正多角形を考える．正三角形は対角線をもたないが，正六角形には長さ√３と２の２種類の対角線がある．対角線の長さが１種類なのは正方形の√２と正五角形の（１＋√５）／２に限られる（もうひとつの正方形と正五角形の特殊性）．√２とφ＝（１＋√５）／２は１辺と対角線の長さの比である特別な値であって，それぞれ白銀比，黄金比と呼ばれている．

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．辺と対角線のすべての相異なる長さの集合に対して，その集合の各要素の平方和ＳＳ（sum of squares）を求めよ．

［ヒント］たとえば，ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→平方和ＳＳ＝６．ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→平方和ＳＳ＝８．

　ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→平方和ＳＳ＝３．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，平方和ＳＳ＝４．

［Ａ］一般に対角線や辺の長さは無理数になる．求めようとしているのは長さの平方和であって，長さそのものではないが，これまでのところ，答えはつねに整数の可能性があることが示唆される．

　ｎが偶数のときは辺も含めてｎ／２個の異なる対角線があり，奇数のときは（ｎ−１）／２個の異なる対角線がある．一般に，三角関数を使えば

［１］ｎが奇数（ｎ＝２ｋ＋１）のとき，

　　ＳＳ＝Σ(0,k-1)（２ｃｏｓ（（ｊ＋０．５）π／ｎ））^2

［２］ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のとき，

　　ＳＳ＝Σ(0,k-1)（２ｃｏｓ（ｊπ／ｎ））^2

で与えられる（あるいは，複素数を用いれば有限フーリエ級数となって，直交性の関係により容易に解くことができるかもしれない）．

［１］ｎが奇数のとき，ＳＳ＝ｎ

［２］ｎが偶数のとき，ＳＳ＝ｎ＋２

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．すべての辺（ｎ本）と対角線（ｎ（ｎ−３）／２本），合計ｎ（ｎ−１）／２本の長さの平方和（sum of squares）を求めよ．

［ヒント］ｎ＝４のとき，辺の長さ√２（４本）と対角線の長さ２（２本）である→平方和ＳＳ＝１６．ｎ＝６のとき，辺の長さ１（６本）と対角線の長さ√３（６本）と２（３本）である→平方和ＳＳ＝３６．

　ｎ＝３のとき，辺の長さ√３（３本）→平方和ＳＳ＝９．ｎ＝２のときは，直径の長さ２（１本）であるから，平方和ＳＳ＝４．

［Ａ］辺も含めてすべての対角線の長さの平方を合計する場合，ｎ個の頂点をもつのでｎ×ＳＳといきたいところであるが，ｎが偶数のときは直径を重複して数え上げるので，その分を差し引くと

　　ｎ（ｎ＋２）−２ｎ＝ｎ^2

［１］ｎが奇数のとき，ＳＳ＝ｎ^2

［２］ｎが偶数のとき，ＳＳ＝ｎ^2

　ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生じない．すなわち，ｎが偶数か奇数かのケースにわける必要はなく，しかも，コラム「正多角形の対角線の交点数」に掲げた交点数公式ほど荘厳でいかめしいものでもない．この美とエレガンス（気品）を鑑賞していただけたであろうか．

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