畳あるいはドミノ（１×２の長方形）によるタイル貼りを考える．１辺の長さ２の正方形の畳敷きは２個の畳を水平に置くか垂直に置くかの２通りの敷き方がある．チェス盤（１辺の長さ８）に対しては１２９８８８１６通りある．統計物理学ではドミノに相当するものが２原子分子であり，ドミノタイル貼りは統計物理学の問題としても一役担っている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】長方形を畳で敷きつめる

　１９６１年，物理学者のカステレイン，フィッシャー，テンパレイは縦横２辺の長さが任意の偶数（２ｍ×２ｎ）の長方形の畳の敷き方数は

　　Ｋ（ｎ，ｍ）＝Π(j=1~n)Π(k=1~m)｛４ｃｏｓ^2（ｊπ／（２ｎ＋１））＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

であることを見いだした．これはフィボナッチ数列の三角関数表現の拡張であることは，コラム「フィボナッチ数列の三角関数表現」で紹介したとおりである．

　奇数の場合も含め，この敷き方数の求め方はコラム「畳の敷き方数（その１）」で解説したが，この不思議な公式には興味深い性質が隠されていて，たとえば，正方形（ｍ＝ｎ）の場合には，つねに奇数の２乗を２^n倍したものになる．

　　Ｋ（０，０）＝１＝２^0

　　Ｋ（１，１）＝２＝２^1

　　Ｋ（２，２）＝３６＝２^2３^2

　　Ｋ（３，３）＝６７２８＝２^3２９^2

　　Ｋ（４，４）＝１２９８８８１６＝２^4９０１^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】アステカダイヤモンドを畳で敷きつめる

　アステカダイヤモンドとは同じ高さの階段を４個貼り合わせてできる図形である．アステカダイヤモンドのｎ番目は２ｎ（ｎ＋１）個の正方形の貼り合わせ図形である．

　　□　　　　　　□　　　　　　　□　　　　　　　　　□

　　　　　　　　□□　　　　　　□□　　　　　　　　□□

　　　　　　　　　　　　　　　□□□　　　　　　　□□□

　×４　　　　　×４　　　　　　×４　　　　　　　　×４

　　↓　　　　　　↓　　　　　　　↓　　　　　　　　　↓

　　□□　　　　　□□　　　　　　□□ 　　　　　　□□

　　□□　　　　□□□□　　　　□□□□ 　　　　　□□□□

　　　　　　　　□□□□　　　□□□□□□　　　　□□□□□□

　　　　　　　　　□□　　　　□□□□□□　　　□□□□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□ 　　　□□□□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　□□ 　　　　□□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□

　　ｎ＝１　　　　ｎ＝２　　　　　ｎ＝３　　　　　　　ｎ＝４

　ｎ＝１のアステカダイヤモンドの畳敷きは２個の畳を水平に置くか垂直に置くかの２通りの敷き方がある．ｎ＝２については全部で８通り，一般にサイズｎのアステカダイヤモンドの畳敷きは２^n(n+1)/2通りある．

　この公式は１９９２年，４人の数学者エルキース，クーパーバーグ，ラーセン，プロップによって発見されたが，Ｋ（ｎ，ｎ）すなわち奇数の２乗を２^n倍したものよりもずっと簡単である．

　サイズｎのアステカダイヤモンドの畳敷きの数

　　Ｄn＝２^nＤn-1

はサイズｎ−１のアステカダイヤモンドの畳敷きが与えられたとすると，その各々に対してｎ個のサイズ１の畳敷き（２通り）の敷き方数（２^n通り）をかけたものの反復によって得られることを示している．正確にいうとｎ＋２個のサイズ１の畳敷きの対称性を考えると４で割る必要があり，したがってｎ個のサイズ１の畳敷きと同数になるのであるが，実際，そのような図形的な繰り返し式証明法が知られている．

　　［参］アンドリュース，エリクソン「整数の分割」数学書房

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】十字ポリオミノを切って正方形を作る

　合同な正三角形，正方形，正六角形を何個か連結したものはそれぞれポリアモンド，ポリオミノ，ポリヘックスと呼ばれ，プラパズルとして市販されているものもある．そこで，５個，１３個，２５個，４１個，・・・と階段状に正方形を並べてできる図形を十字ポリオミノと呼ぶことにする（本当はアステカダイヤモンドに対抗して，マヤダイヤモンドとでも呼びたいところであるが・・・）．

　　□　　　　　　□　　　　　　　□　　　　　　　　　□

　□□□　　　　□□□　　　　　□□□　　　　　　　□□□

　　□　　　　□□□□□　　　□□□□□　　　　　□□□□□

　　　　　　　　□□□　　　□□□□□□□　　　□□□□□□□

　　　　　　　　□　　　　　□□□□□　　　□□□□□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　□□□　　　　　□□□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　□　　　　　　　□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

　ｎ＝１　　　　ｎ＝２　　　　　ｎ＝３　　　　　　　ｎ＝４

　十字ポリオミノは６１個，８５個，・・・と続くが，ｎ番目は（ｎ＋１）^2＋ｎ^2個貼り合わせてできる図形である．十字ポリオミノを２回だけ切って並び替えると，正方形を作ることができる．

　１個，４個，９個，・・・，ｎ^2個のときは切らなくとも正方形に並べることができるから，切って正方形のできるのは，ピタゴラスの定理よりｎ^2＋ｍ^2個の正方形がよい形にくっついているポリオミノである．たとえば，正方形が１０個までで（切って並べ替えて）正方形にできるのは１，２，４，５，８，９，１０の７通りである．

　　１＝１^2＋０^2，２＝１^2＋１^2，４＝２^2＋０^2，５＝２^2＋１^2

　　８＝２^2＋２^2，９＝３^2＋０^2，１０＝３^2＋１^2

　　［参］岡部恒治「大人の算数」梧桐書院

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝