【１】２元２次形式による表現と１５の定理
１９９６年，コンウェイとシュニーバーガーは正定値２元２次形式
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ
が１から１５までのすべての整数を表せば，それがすべての整数を表すことを示した（１５の定理）．
もっと限定していえば
１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５
の９つの数を表現するならば，すべての整数を表現するという定理である．
この定理はルジャンドルの４平方和定理「何種類かの４変数２次形式，たとえば，
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2 （ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）
はすべての正の整数を表現することができる」も内包していて，
１＝１^2，２＝１^2＋１^2，３＝１^2＋１^2＋１^2，５＝２^2＋１^2
６＝２^2＋１^2＋１^2，７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2，１０＝３^2＋１^2
１４＝３^2＋２^2＋１^2，１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2
５変数２次形式，たとえば，
ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2
はどの整数も表すことができる．
それに対して，普遍的な３変数２次形式は存在しない．たとえば，
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ^2＋２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2
は１から３０までの整数をすべて表すが，３１を表すことはできない．他の３元２次形式はこんなにうまい具合にはなっておらず，３１以下の整数の中のどれかを表すことができないのである．
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【２】２元１次形式による表現とシルヴェスターの定理
互いに素な２つの整数ａ1，ａ2が与えられたとき，非負整数が存在して
ｍ1ａ1＋ｍ2ａ2＝ｎ
が成り立つことは，硬貨の言葉に置き換えるとａ1円玉とａ2円玉を用いてｎ円が支払えることを意味する．どの額が支払えるか，支払えない最高額はいくらかという問題が考えられるところである（この問題はフロベニウスの硬貨交換問題と呼ばれる）．
支払えない最高額をフロベニウス数と呼び，ｇ（ａ1，ａ2）で表される．
ｇ（ａ1，ａ2）＝ａ1ａ2−ａ1−ａ2＝（ａ1−１）（ａ2−１）−１
で与えられ，１と（ａ1−１）（ａ2−１）の間にある整数のちょうど半数が表現可能である．
たとえば，ａ1＝４，ａ2＝７の場合，ｇ（ａ1，ａ2）＝１７で，表現不可能な整数の数は（ａ1−１）（ａ2−１）／２＝９となる．
シルヴェスターの定理の証明は母関数
ｆ（ｚ）＝１／（１−ｚ^a1）（１−ｚ^a2）ｚ^n
の定数項と関連しているが，硬貨が３枚以上になると格段複雑になり，ｎ元１次形式に対する公式はほとんど成功しなかった．
なお，ｎ×ｎ正方行列で各行各列の和が同じになるものを半魔方陣Ｈn，主対角線の和も同じになるものを魔方陣Ｍnと呼ぶと，それぞれの魔方陣の数も母関数の定数項と関連している．魔方陣の数を数え上げる問題の研究は２０世紀になってからようやく始まったものである．→コラム「定数項予想入門」参照
［参］ベック，ロビンズ「離散体積計算による組合せ数学入門」シュプリンガー・ジャパン
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【３】レイリーの定理とビーティー数列
レイリーの定理とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．
α≦βとすると，仮定からαは区間（１，２）にあることがわかりますが，たとえば，
α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2
とき，ａn，ｂnの値は
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
ａn 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16
ｂn 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26
ｎ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ａn 17 19 21 22 24 25 27 29 30 32
ｂn 28 31 34 36 39 41 44 47 49 52
ｎ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ａn 33 35 37 38 40 42 43 45 46 48
ｂn 54 57 60 62 65 68 70 73 75 78
ｎ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ａn 50 51 53 55 56 58 59 61 63 64
ｂn 81 83 86 89 91 94 96 99 102 104
ｎ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ａn 66 67 69 71 72 74 76 77 79 80
ｂn 107 109 112 115
これを
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
ａn 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16
ｂn 2 5 7 10 13 15
ｎ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ａn 17 19 21 22 24 25 27 29 30 32
ｂn 18 20 23 26 28 31
ｎ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ａn 33 35 37 38 40 42 43 45 46 48
ｂn 34 36 39 41 44 47 49
ｎ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ａn 50 51 53 55 56 58 59 61 63 64
ｂn 52 54 57 60 62 65
ｎ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ａn 66 67 69 71 72 74 76 77 79 80
ｂn 68 70 73 75 78
と並べ直すと，２つの数列は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与えるという意味がおわかり頂けると思います．
レイリーは数列の任意の連続する２項の間には必ずもう一つの数列の項が入り込むことを発見したのですが，この定理は１９６２年にビーティーにより再発見されたことにより，２つの数列はビーティー数列と名付けられています．
数列｛ａn｝がビーティー数列ならば，ａnの値はａ1，ａ2，・・・，ａn-1の値から１以内の誤差で決定することができます．ａ1＋ａn-1，ａ2＋ａn-2，・・・，ａn-1＋ａ1の和はすべてｖまたはｖ＋１になるからです．また，この和がすべてｖならばａn＝ｖ＋１でなければなりません．もし，そうでなければビーティー数列ではないということになります．
たとえば，ビーティー数列１，３，４，６，８，９，・・・において，ａ1＋ａ1＝２よりａ2は２または３（実際は３），ａ1＋ａ2＝４よりａ3は４または５３（実際は４），ａ1＋ａ3＝５，ａ2＋ａ2＝６よりａ4は６となります．
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