整数点を数えれば面積がだいたいわかるというのが離散体積の問題である．今回のコラムで離散体積の問題をいくつかピックアップして紹介したい．
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【１】ピックの公式とリーブの公式
ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものである．
Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１
Ａ：格子多角形の面積
Ｉ：内部の点の個数
Ｂ：境界線上の点の個数
すなわち，格子点平面の折れ線で囲まれた面積は（凸であれ凹であれ）格子点の数で表せるという「格子の幾何学」の美しい公式である．ピックは，ミンコフスキーの格子点定理「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」を用いて，彼の興味深い定理を証明した．
ところで，ピックの定理を一般化して，３次元格子上に頂点をもつ多面体の体積公式を作ることができるだろうか？ 実は，３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないことが証明されている（リーブ，１９５７）．
凸格子点多面体に限ると，すべての凸格子点多面体に対して成り立つ公式は存在するのだが，それでも非常に複雑なものになるという．→コラム「ピックの公式の拡張」参照
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【２】ガウスの円問題
原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．
Ｒ（１０）＝３１７ Ｒ（１００）＝３１４１７
Ｒ（２０）＝１２５７ Ｒ（２００）＝１２５６２７
Ｒ（３０）＝２８２１ Ｒ（３００）＝２８２６９７
Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．
ｒ Ｒ（ｒ）／ｒ^2 ｒ Ｒ（ｒ）／ｒ^2
１０ ３．１７ １００ ３．１４１７
２０ ３．１４２５ ２００ ３．１４０７２５
３０ ３．１３４ ３００ ３．１４１０７
ガウスは
｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ
を示したが，
｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k
となるｋの最小値を求める問題に一般化される．
シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．
ｋ＝１／２と予想されている．同じ問題を３次元球についても考えることができる．→コラム「平面上の格子点」参照
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【３】スタインハウスの問題
平面上の点で座標が両方とも整数の点を格子点といいます．
（Ｑ）与えられた整数ｎに対して，平面上の円でちょうどｎ個の格子点を囲むものが存在するか？
という問いかけはスタインハウスが１９５７年に提起した問題です．シェルピンスキーはスタインハウスの問題に肯定的に答えています．
（Ａ）点（√２，１／３）は平面上のすべての格子点から異なる距離にある．
（証）（ａ1，ａ2），（ｂ1，ｂ2）は点（√２，１／３）から等距離にある異なる格子点と仮定すると
（ａ1−√２）^2＋（ａ2−１／３）^2＝（ｂ1−√２）^2＋（ｂ2−１／３）^2
ａ1^2＋ａ2^2−ｂ1^2−ｂ2^2−２／３ａ2＋２／３ｂ2＝２（ａ1−ｂ1）√２
√２が無理数であることより
ａ1−ｂ1＝０かつａ2^2−ｂ2^2−２／３（ａ2−ｂ2）＝０
したがって，
ａ2＋ｂ2−２／３＝０
でなければならない．しかし，ａ2，ｂ2は整数であるから明らかに矛盾する．よって，点（√２，１／３）から格子点までの距離はすべて異なることがわかる．
２つの無理数，たとえば点Ｐ（√２，√３）に対しても同様に証明することができる．３頂点とも格子点であるような正三角形，３頂点とも格子点であるような正五角形は存在しない．
（Ｑ）与えられた整数ｎに対して，平面上の円でちょうどｎ個の格子点を通る円が存在するか？
（Ａ）yes.
ｎ＝２（ｋ＋１）のとき，点（１／２，０）を中心とする円
（２ｘ−１）^2＋（２ｙ）^2＝５^k
ｎ＝２ｋ＋１のとき，点（１／４，０）を中心とする円
（４ｘ−１）^2＋（４ｙ）^2＝５^2k
がちょうどｎ個の格子点を通る円となる．→コラム「数学史よもやま話」参照
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