線分，三角形，四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形であるが，次元数ｎより１つ多い数の頂点によって作られる高次元図形を単体（シンプレックス）と呼ぶ．線分は一次元単体，三角形は二次元単体，三角錐は三次元単体とも呼ばれる所以である．
ｎ次元正単体の場合，
頂点数： ｎ＋１，
稜数： （ｎ＋１）ｎ／２，
三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６
である．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでて，すべての頂点を結ぶと単体ができあがることになる．各頂点のまわりにはｎ（ｎ−１）／２個の三角形，また，各稜のまわりにはｎ−１個の三角形が集まっている．
今回のコラムでは，ｎ次元正単体の二面角（注：二胞角というべきであるが３次元の場合の用語を転用）を２つの方法で求めることにする．なお，エレガント（elegant）でない力まかせの表現はエレファント（elephant）と呼ばれる．これはエレガントとエレファントをかけたダジャレであるが，数学の表記法は無駄を省いて短く巧みに簡潔にをよしとしていて，数学形式のすばらしいところはエレファントな表現を排除できるところにある．
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【１】エレファントな解法
ｎ次元正単体の頂点の座標を
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
としよう．これらの頂点間距離は√２である．
これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は
（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，
（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２
すなわち，
ｎｘ^2−２ｘ−１＝０
を満たさなければならないことより，
ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ
が得られる．
ｎ＋１個の頂点：
Ｖ1（１，０，・・・，０）
Ｖ2（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
Ｖn（０，０，・・・，１）
Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
の中心座標（体心）は
（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
底面
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
の重心（面心）は
（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）
それに隣接する面
（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
の重心（面心）は
（ｘ／ｎ，（ｘ＋１）／ｎ，・・・，（ｘ＋１）／ｎ）
であるから，２つの連接する面心ベクトルは
（１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
（ｘ／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
より，面心間距離は
ｃｏｓθ＝−１／ｎ
二面角はその補角であるから
ｃｏｓδ＝１／ｎ
と計算される．ｎ＝２以外のときは４直角の整数分の１にならないが，これは正三角形による平面充填形（３，６）に他ならない．
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【２】エレガントな解法
ｎ次元正単体の境界多面体はｎ−１次元正単体，ｎ＋１次元正単体の境界多面体はｎ次元正単体である．正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になる．そこで，ｎ次元正単体の代わりに，全体を１次元あげてｎ＋１次元正単体の境界多面体をとることにする．
境界多面体はｎ＋１次元空間内のｎ＋１個の単位点（１つだけ座標が１で他が０である点）
Ｖ1（１，０，・・・，０，０）
Ｖ2（０，１，・・・，０，０）
・・・・・・・・・・・・・・
Ｖn+1（０，０，・・・，０，１）
から生成される．これらの頂点間距離は√２である．また，中心座標は
ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））
また，隣接する２つのｎ−１次元胞Ａ，Ｂは
Ａ＝｛Ｖ1，Ｖ2，・・・，Ｖn｝
Ｂ＝｛Ｖ2，・・・，Ｖn，Ｖn+1｝
から生成されるものをとると，それぞれの中心は
ｃ（Ａ）＝（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ，０）
ｃ（Ｂ）＝（０，１／ｎ，・・・，１／ｎ，１／ｎ）
ｃ（Ｓ）からｃ（Ａ）に向かうベクトルをｕ，ｃ（Ｓ）からｃ（Ｂ）に向かうベクトルをｖとすると，
１／ｎ−１／（ｎ＋１）＝１／ｎ（ｎ＋１）
より，
ｕ＝（１／ｎ（ｎ＋１），・・・，１／ｎ（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））
ｖ＝（−１／（ｎ＋１），１／ｎ（ｎ＋１），・・・，１／ｎ（ｎ＋１））
したがって，面心間距離（角度）は
ｃｏｓθ＝ｕ・ｖ／｜ｕ｜｜ｖ｜＝−１／ｎ
二面角はその補角であるから
ｃｏｓδ＝１／ｎ
と計算される．
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