フラクタルとは有限の空間に無限の集合がたたみこまれたもので，ロシアのマトリョウシカ人形のように相似形が入れ子構造になっていて，拡大すると自己相似パターンが認められるものを指します．いくらでも小さいスケールで自分自身を再現するパターン，いたるところで微分不可能な連続曲線といったほうがわかりやすいかもしれません．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】マンデルブロー集合とジュリア集合
関数ｆ（ｚ）＝ｚ^2＋ｋにおいて，ｚとｋが複素数のとき，ロジスティックモデルと同様の問題はガウス平面上の複雑で美しい集合になります．
ｚ0 ＝０，ｚn+1 ＝ｚn ＋ｋで定義される数列が無限に発散しないような複素数ｋの集合がマンデルブロー集合と呼ばれ，美しいフラクタル図形を与えてくれます．
マンデルブロー集合ではｚ0 を固定しｋを変化させていますが，逆に，ｋを固定してｚ0 を変えたものがジュリア集合です．非線形方程式ｆ（ｘ）＝０の解の近似値をもとめるニュートンの方法：ｘn+1 ＝ｘn −ｆ（ｘn ）／ｆ’（ｘn ）では，初期値ｘ0 によって，収束，振動，発散しますが，この手続きは関数ｘn+1 ＝ｘn −ｆ（ｘn ）／ｆ’（ｘn ）のジュリア集合を研究することと非常に似ています．
ジュリアは入力ｚとして複素数を使ったときに，発散しない条件のもとではこの反復関数が驚くべき結果を生むことに気づいた数学者の一人です．ジュリア集合の図の驚くべき美しさと複雑さは最近のコンピュータ・グラフィックスの進歩に伴って詳しくわかってきました．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】polynomiography（マンデルブロー集合とジュリア集合の拡張）
２次多項式ｆ（ｚ）＝ｚ^2＋ｋが３次多項式ｆ（ｚ）＝ｚ^3＋ｋになると，臨界点がただ１つではなく２つになるため，はるかに複雑になる．任意の３次多項式はｆ（ｚ）＝ｚ^3＋ａｚ＋ｂに共役であるが，さらの任意の４次多項式はｆ（ｚ）＝ｚ^4＋ａｚ^2＋ｂｚ＋ｃに共役である．
6/25〜27に行われた形の科学会（東京学芸大学，武蔵小金井）
6/29のOne day seminar on Math and Art（東海大学代々木校舎）
では，カランタリ先生（ラトガー大学）による任意のｎ次多項式ｆ（ｚ）＝ｚ^n＋ａｚ^n-1＋・・・＋ｂｚ＋ｃの美しいフラクタル図形が供覧されていた．
また，４元数は複素数の拡張であり，１８４３年，ハミルトンが発見して以来，３次元運動の力学系を記述するために使われてきて，スペースシャトルの制御でも利用されている．４元数に対しても，ジュリア集合ｆ（ｑ）＝ｑ^2 ＋ｋを表示できる方法が開発されているそうである．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】フラクタル構造の解明
カオスの軌道を拡大するとそこには拡大前と類似の自己相似パターンが認められることから，カオスとフラクタルは密接に関連しています．
フラクタル構造の代表例が，ガラスのひび割れ，雪の結晶，金平糖の角の造形成長パターンなどです．フラクタル構造を解明することによって，たとえば，木のような構造をもつ気管支の形態と機能の生物学的発達が説明できたり，また，銀河は宇宙上に一様に生ずるのではなく，むしろクラスターとして存在していますが，宇宙のフラクタル構造の解明がその起源の理解に導いてくれます．
長い間，物の形は自然科学の対象とはなりえませんでした．それは自然の形が定量化できなかったからにほかなりませんが，しかし，誰もがそのパターン形成のメカニズムを知りたいと考えてきました．わが国では数多くの随筆を残している文化人としても高名な「天災は忘れた頃にやって来る」の物理学者，寺田寅彦を中心とした研究グループが形態形成にはそれぞれの原因があると考えて形因論を展開し，その先駆的な研究に携わっています．
寺田寅彦はＸ線結晶学に関して世界に誇れるような仕事をしているのですが，日常身辺の現象に対しても科学的な考察を施し，芸術と科学の一体化を図っています．彼の考えは「金平糖の研究」などによく現れていて，氷の割れ方や川の流れ方など一見でたらめな形への関心を示し，今日でいうゆらぎやパターン形成など非線形性現象の草分け的存在になっています．なお，夏目漱石の「我が輩は猫である」の寒月先生は彼がモデルとされています．
パターンの形成過程に潜む法則性については彼が育成した研究者，例えば，電気火花やガラスのひび割れパターンを平田森三が，雪片の幾何学（雪の六角結晶像）については中谷宇吉郎が研究を進めました．中谷宇吉郎は「雪は空からの手紙である」という有名な言葉を残していますが，これは雪の結晶を見るとどのような気象条件のところを通過してきたか判断できることを述べたものと思われます．
ところで，中谷宇吉郎が雪の結晶は天からの手紙という言葉を残してからすでに半世紀の年月が経過していますが，天からの手紙は解読されたといえるでしょうか．科学者たちは今やっと雪片のパターンに含まれるメッセージを解読し，どのようにして雪片が成育するかの理論を構築し始めたばかりです．水の分子が凝集した雪の結晶化現象はあまりにも複雑な挙動を示し，幾多の撹乱因子も重要な役割を果たしていて，毎回毎回，二度と再現できないような形が現れます．この問題についてのわれわれの理解はようやくその糸口をつかんだばかりで，内容についてはまったくの未解決問題，すなわちほとんど何もわかっていないというのが現状であるといわざるを得ません．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝