従来，非線形信号はノイズあるいは再現性の悪いものとして見落とされ見逃されてきたのですが，見方を変えるとそこにある種の秩序があり，カオスやフラクタルの形でいろいろな情報を含んでいることが知られるようになってきました．これまで原因不明のノイズとして見捨てられていたものも，それをカオスと考えることによって隠れた法則性を発見する手がかりとなるのです．
「カオス」は，ポアンカレから始まった力学系の研究に端を発し，「非線形」や「フラクタル」と密接に絡んでいます．まず，カオスの発端となった３体問題を取り上げるのはスジというものでしょう．
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【１】３体問題（カオスの発端）
ニュートンは逆２乗則にしたがう引力が，宇宙のどの場所においても，どんな２つの物体の間にも例外なく存在するはずだという，実に大きな知的飛躍を試みて大成功をおさめ，ニュートン以来の古典力学は解析力学という形で一応の完成をみました．もちろん，現在の科学はニュートン力学だけでは不十分で，光の速度に近いような非常に速い物体，原子とか量子とか非常に小さい物体の運動法則は，もはやニュートン力学ではうまく説明できません．そこで，アインシュタインの相対性理論という新しい力学が出現したのです．しかし，運動する速度があまり大きくない物体の運動，たとえば，人工衛星の運動ではニュートン力学は実にうまくあい，相対性理論を使う必要はまずありません．
天体力学において，２つの物体まではニュートン力学によって解析的な計算を行うことができ，互いに引力を及ぼしあっている二つの物体は楕円，放物線，双曲線のうちのいずれかの軌道になることが証明されています．例えば，地球から打ち上げた人工衛星の初速が秒速７．９ｋｍ（第１宇宙速度）のとき円，それ以上で秒速１１．２ｋｍ（第２宇宙速度）以下のとき地球を焦点とする楕円，秒速１１．２ｋｍのとき放物線，それより速いときは双曲線を描くといった具合です．放物線軌道，双曲線軌道になると地球の重力圏を脱出し，もう地球に戻ってくることはありません．これらの曲線は円錐を異なる平面で切ることで得られる一群の曲線，すなわち円錐曲線で，天文学において重要な役割を果たすことになり，力学と幾何学の間には美しい調和が存在していることになります．
ニュートンは２つの天体の間の運動方程式（微分方程式）を積分することによって解き，安定な周期解となることを導き出しました．この解がケプラーの法則です．次に，３つの天体間の運動方程式，すなわち３体問題（例えば，地球と太陽と木星しかない宇宙で，これら３つの星の運行を決める）に関心が移ってくるのは当然のことでしょう．ところが，天体の数が３つになると複雑でお手上げになることをご存じでしょうか．
ニュートンの後継者たちは，物体が３つ以上ある系についても運動方程式を積分して解くことを試みたのですが，結局，積分不能で行き詰まってしまいました．３体問題の運動方程式を書くのは容易ですが，それを解くのは非常に難しく，方程式を正確に解く公式をどうしても見つけられなかったのです．２体問題は可積分であるのに対し，３体問題の技術的な困難は，ニュートンから２世紀以上経てもなお完全な答えは見つからなかったのですが，１９世紀末から２０世紀初頭にかけて，ポアンカレは３体問題を積分法で解くことは不可能であることを証明しています．
３体問題は可積分でないという不存在証明が微分方程式論など数学に与えた影響は大きなものがあります．数学は数学内部から影響で進展するとともに，物理学，天文学，力学の強い外部的影響のもとで，関連しながら発展してきましたが，ヒルベルトは，ポアンカレを議長とする１９００年の国際数学者会議で「数学の諸問題」という講演を行っています．ヒルベルトのあげた２３の問題は数学のほとんど全分野にわたっていて，彼自身の研究と密接に関連しています．そのなかで，数学の発展をもたらした問題の例として，最速降下線の問題，フェルマーの問題，三体問題，正多面体の問題，代数関数論におけるヤコビの逆問題をあげていますが，フェルマーの問題がまったく純粋な思考の産物であるのに対して，三体問題は天文学上の必要性から生じたもので好対照をなしています．
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【２】太陽系のなかのカオス
二体問題の運動方程式はニュートンによって解かれ，その解はよく知られたケプラーの法則になります．ケプラーの法則では，すべての惑星はどれも太陽を１つの焦点とする同心楕円上を運行し，地球は永久にその楕円軌道を保ちながら太陽の周りを回り続ける周期軌道をとります．このように，二体の系においては軌道が安定するのですが，その系にもう一つ惑星をつけ加えると地球はもはや時計仕掛けのように正確で不変な軌道を保つことができず，カオス的にゆらぎ，ゆがめられてしまいます．３体問題は可積分でないばかりかカオスをも生ずるのです．
この問題は天体がそれ以上になるとさらに難しくなります．実際の惑星の運動は，太陽と惑星との二体問題ではなく，他の惑星の重力の影響も絡み合った多体問題になります．太陽系は太陽と９つの惑星が月や小惑星，彗星を伴って運動している大家族・大惑星系であり，その相互作用はかなり複雑となってしまうのです．
１８８７年頃，最後の万能数学者と呼ばれたフランスの数学者ポアンカレは「すべての惑星は現在の軌道とほとんど同じ軌道上を今後も運動し続けるのだろうか．それとも，太陽系外に飛び去ってしまったり，太陽に衝突する惑星もあるのだろうか．」という太陽系の安定性について研究していました．ポアンカレによってスタートした力学系の研究から，多体問題の運動方程式を解くことは極めて難しいことが知られていて，周期的なものだけでなくで，不規則で予測できないもの−−−たとえば有界ではあるが周期的でない軌道や無限軌道−−−が現れることが証明されています．したがって，実際の惑星の運動はケプラーの法則が厳密には成立しないため，非常に複雑な運動になることがわかっていて，３つというごく少数の物体を記述する微分方程式を解くことさえ非常にむずかしく，その軌道計算は簡単には解けないのです．
それに対するポアンカレの考え方は微分方程式の定量的な厳密解を求めることをあきらめ，微分方程式の解の大域的性質を幾何学的に研究すること，すなわち，解があるかないか，周期的かどうか，構造安定かどうかだけの定性的性質を調べるという位相幾何学的なものでした．現在，式の形でうまく解けなかった３体問題の微分方程式を数値的に解き，それをアニメーションの形で見ることができるようになりましたが，それでもまだ完全な解答には到達しておらず，近似的な結論ですが，「太陽系は安定か」という問いに対しては，大体周期的になる配置と惑星がさまよう出すような配置とが紙一重の差で混ざり合っているという答えが与えられています．
力学系の理論はもともと太陽系の運動を研究するところから出発したのですが，天文学に限らず，素粒子物理学の世界でも事情は同じで，素粒子の数が３つ以上になるとやはり解析的な計算は困難になり，コンピュータを使った近似計算に頼ることになります．しかし，さらに複雑な系ではコンピュータ処理にも適用限界があり，間違った相互作用仮説に基づいて解析すると当然のことながら誤った結論を導くことになるので注意が必要です．場合によってはまったく間違った結果を導く可能性があり，相互作用をどう仮定し，多体問題をどう処理したかによって，いろいろな方程式が提唱されているというのが現状です．
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【３】まとめ
ニュートン力学は「ある時刻での宇宙のあらゆる情報が与えられれば未来はすべて計算できる．」，「世界全体を複雑で巨大な時計仕掛けとみなし，この仕組みを完全に知れば今から世の終わりまですべて見通せるはずである．」という決定論的思想・古典力学的自然観を生み出しました．しかし，実際には三つの天体の運動でさえ誰も予見できないのです．
１９世紀後半のフランスの数学者ポアンカレは力学系理論の創始者・先駆者として名を知られ，その業績は数学や物理にコミットし深くて広いものがあります．ポアンカレは太陽系の運動に関する研究に関連してトポロジーを開発するとともに，もっとも単純な３体問題ですら厳密解が存在せず，力学系の理論は複雑極まりない軌道が現れる病理的（パソロジカル）な性質をもつことを証明しています．
ポアンカレは太陽系の安定性に関する議論の中で解の安定性神話の崩壊ともいうべき複雑な現象＜カオス＞を指摘しましたが，太陽系のカオスはとても小さくあたかも解は安定で，コンピュータもなかった当時は目に見える形では示せなかったためほとんど注意を払われることはありませんでした．１９世紀の電子計算機がなかった時代に，米国のニューカムは海王星までの８個の惑星系の安定性を調べるのための八元連立一次方程式の固有値問題を解くのに１０年以上かかったといわれていますから，カオス現象を垣間みていたポアンカレは「心眼」でそれを見ていたということになります．
ポアンカレによって，簡単な決定論的方程式に従う対象でも未来予測が不可能なことがあることが指摘されたことにより，決定論的プロセスと非決定論的プロセスとの境目はなくなり，決定論と非決定論という二分法は意味を失い，もはや成立しないものになりました．
この事実は決定論的自然観に変革をもたらすものであり，新たに誕生した非決定論的自然観の中からハイゼンベルクの不確定性原理や物質本体の確率論的解釈をもとにした量子力学的自然観が登場します．ニュートン力学の不満な点を克服するのが統計力学や量子力学であり，これがやがて新しい突破口にもなっていくのですが，今日では，ニュートン的な考え方では捉えきれない非線形現象，カオス現象，フラクタルな現象などがさまざまな分野で発見されており，非線形現象を解析する数学の確立と進展が要請されています．決定論は神話に過ぎず，原則的に自然はカオティックであるのです．
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