【１】黄金菱形と白銀２乗菱形による平面充填

　対角線の長さの比が２：２τの黄金菱形の斜辺の長さは（１＋τ^2）^1/2ですから，菱形の鈍角をθとすると

　　ｃｏｓ（θ／２）＝１／（１＋τ^2）^1/2

　　ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2（θ／２）−１＝−√５／５

となって，これは正十二面体の二面角に一致します．

　一方，対角線の長さの比が２：４の白銀２乗菱形の場合，斜辺の長さは√５ですから，菱形の鈍角をθとすると

　　ｃｏｓ（θ／２）＝１／√５　　（正十二面体の二面角の補角）

　　ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2（θ／２）−１＝−３／５

となって，これに対応する正多面体はありません．また，この角度は黄金菱形の鋭角φの２倍になっています．

　　ｃｏｓ（φ／２）＝τ／（１＋τ^2）^1/2

　　ｃｏｓφ＝２ｃｏｓ^2（φ／２）−１＝１／√５

　　ｃｏｓ２φ＝２ｃｏｓ^2（φ）−１＝−３／５＝ｃｏｓθ

　金原博昭さんに教えていただいたのですが，黄金菱形と白銀２乗菱形を使った周期的なタイル貼りが可能だそうです．ペンローズの非周期的パターンとは異なるこのタイル貼りの意味するところは何なのでしょうか？

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【２】デューラーの八面体

　デューラーは１４７１年に生まれ，１５２８年に没しています．透視図法の発展を促し，有名な版画作品「メランコリアＩ」は彼の透視図法に対する関心の高さを示しています．メランコリー（黒胆汁質）は初めはよくない気質と考えられていたのですが，ルネサンス時代には芸術家的な気質，創造力に繋がるものとされていたようです．この版画には幾何学や建築に関係のあるいろいろな品物が描かれています．切頂菱面体（デューラーの八面体）はこの版画の中にある品物のひとつです．

　合同な菱形だけでできている平行六面体（菱面体）には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれています．扁長菱面体の８頂点のうち６つは同心球面上に位置しますが，菱形の鋭角が３つ集まって構成される２つの頂点は球には内接しません．この頂点をうまく切頂すると球に内接する多面体が得られます．この切頂菱面体は五角形６枚と三角形２枚よりなる八面体で＜デューラーの八面体＞と呼ばれているそうです．

　デューラーの八面体は脳産物であると思っていたのですが，デューラーの八面体型の好物が実在するのだそうです．中川宏さん撮影の写真を掲げます．

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