連分数とは，
ａ1／（ｂ1＋ａ2／（ｂ2＋ａ3／（ｂ3＋ａ4／（ｂ4＋ａ5／ｂ5＋・・・）
のような分数を続けた式で，実用上は最初にａ0＋をつけた形が使われます．整数論で使われる連分数は普通，ａk＝１，ｂkが正の整数である標準連分数です．
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【１】平方根と連分数展開
連分数展開によって
（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］
√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］
のように，１や２が無限に繰り返されるという規則性を見ることができます．
√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］
では交互に１，２が現れる循環連分数となります．以下，
√５＝［２；４，４，４，・・・］
√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］
√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］
一般に，√ｍの連分数展開は循環連分数となり周期性が証明されます．これは既約分数の小数展開が循環小数になることと対比するとおもしろい事実です．
その際，
√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn-1，２ｑ0，・・・］
という周期ｎの連分数展開が得られます．
√２＝［１；２，・・・］
√３＝［１；１，２，・・・］
√５＝［２；４，・・・］
√６＝［２；２，４，・・・］
√７＝［２；１，１，１，４，・・・］
すなわち，どの循環節もｑn＝２ｑ0＝［２√ｍ］で終わっています．
たとえば，√１９９の展開
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
をみると，１４で始まり２８で終わるというのもこの理由によります．
このように，標準無限連分数のうち，部分分母列のあるところから先が巡回的になる循環連分数は２次の無理数（整数係数の２次方程式の解として表される数）に収束します．この性質により，整数項の標準連分数はいわゆるペル方程式：ｘ^2−ｍｙ^2＝ｄ（多くは±１，±４）の解法など整数論の分野で活用されます．
また，√１９９の循環節の最後の２８を除くと１３を中心として対称になっていることにも気付かされます．
√４３＝［６；１，１，３，１，５，１，３，１，１，１２，・・・］
√５４＝［７；２，１，６，１，２，１４，・・・］
√７６＝［８；１，２，１，１，５，４，５，１，１，２，１，１６，・・・］
√９４＝［９；１，２，３，１，１，５，１，８，１，５，１，１，３，２，１，１８，・・・］
√１０００＝［３１；１，１，１，１，１，６，２，２，１５，２，２，６，１，１，１，１，１，６２，・・・］
循環部の最後の項を除いた部分は回文（前から読んでも後から読んでも同じ）になっているという事実も，１９９のみならず，２次の無理数√ｍに共通していえる性質です．
√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］
なお，２次の無理数には循環連分数が対応しますが，連分数による実数の最良近似は解を下方と上方から近似していく方法であって，ユークリッドの互除法に直結しています．
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以上のことから，最も素朴な循環連分数は
√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］
で表されるものと考えられます．
このとき，
Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0
より，ｍは
（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１
を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは
ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・
となることが導き出されます．
√２＝［１；２，２，２，・・・］
√５＝［２；４，４，４，・・・］
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［補］ｅとπの連分数展開
超越数ｅの連分数展開は，
ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］
と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかります．すなわち，２次の無理数のように規則的になっているわけですが，ｅのように超幾何関数の特殊値は３次の無理数よりも，２次の無理数に近いということなのでしょうか？
ｅもπも超越数ですが，しかし，πの連分数展開
π＝［３；７，１５，１，２９２，１，１，１，２，１，３，１，１４，２，１，１，２，２，２，２，１，８４，２，１，１，１５，３，１３，１，４，２，６，６，９９，１，２，２，６，３，５，１，１，６，・・・］
にはなんの規則性も見あたらないようにみえます．πに現れる数字０〜９については，重複対数の法則と呼ばれるランダムウォークに基づく非常に厳しいランダムネス検定にも十分合格することが確かめられています．πには少なくとも何進法かの表現の下でなにか隠された未発見の規則性があるに違いないと信じている人もいますが，現在のところ，πは最も複雑な数なのです．
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【２】平方根のディオファントス近似
ａがｘ^2＝２の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．
かくして算術平均：
ａn+1=1/2(ａn＋２／ａn)
によって定義される数列は√２に収束することになります．この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．
ここでは，これとは別の√２に収束する数列を考えることにします．まず
（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２
（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２
を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は
ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n
となる関係式で結ばれていて，
ａn／ｂn→ √２
ですから，√２に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．
ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）^n（ａn＋ｂn√２）
＝（ａn＋２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２
より
ａn+1＝ａn＋２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn
ａn+1＝ａn＋２ｂn＝ａn＋２（ａn-1＋ｂn-1）
＝ａn＋ａn-1＋（ａn-1＋２ｂn-1）＝２ａn＋ａn-1
ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋２ｂn-1）＋ｂn
＝（ａn-1＋ｂn-1）＋ｂn＋ｂn-1）＝２ｂn＋ｂn-1
より
ａn+1＝２ａn＋ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋ｂn-1
α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１＝０の根１±√２として，
ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
α，βを入れ替えると
ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）
ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
したがって，整数列｛ａn｝の一般項は
ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）
α＝１＋√２，β＝１−√２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると
ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝
整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．
ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）
初期値をｂ1＝１，ｂ2＝２とすると
ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n−（１−√２）^n｝
ここで，ｎ→∞のとき（１−√２）^n→０ですから
ａn／ｂn→ √２
となるのを確かめることができます．
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同様にして，√３の最良近似では
（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３
（２−√３）^n＝ａn−ｂn√３
より
ａn+1＝４ａn−ａn-1，ｂn+1＝４ｂn−ｂn-1
α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ＋１＝０の根２±√３として，初期値をａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝７，ｂ1＝０，ｂ2＝１，ｂ3＝４とすると
ａn／ｂn→ √３
となります．
近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて
｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2
が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．
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［補］ｅの近似分数
ａn+1＝（４ｎ＋２）ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（４ｎ＋２）ｂn＋ｂn-1
初期値をａ1＝１，ａ2＝３，ａ3＝１９，ｂ1＝１，ｂ2＝１，ｂ3＝７とすると
ａn／ｂn→ ｅ
となります．係数は整数ではありませんが，係数が次々に大きくなるので近似速度は速くなります．
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