連分数展開が有限で終わることと有理数であることは同値です．そこで，２次方程式の解となる√ｎの連分数展開を求めると，たとえば
√２＝［１：２，２，２，２，・・・］
√３＝［１：１，２，１，２，１，２，１，２，・・・］
√７＝［２：１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］
のように循環型の単純連分数に展開されることが知られています．一般に，２次の無理数（整数係数の２次方程式の解）は周期的な連分数展開をもちます（ラグランジュの定理）．
平方根を無限連分数に表す手順はわかりやすく，たとえば，１＜√２＜２であるから
√２＝１＋（√２−１）
＝１＋１／（√２＋１） ２＜√２＋１＜３
＝１＋１／｛２＋（√２−１）｝
＝１＋１／｛２＋１／（√２＋１）｝
＝１＋１／｛２＋１／（２＋（√２−１）｝
＝１＋１／｛２＋１／（２＋１／（√２＋１）｝
＝１＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋・・・
の手順を何度も繰り返すことにより，
√２＝［１：２，２，２，２，・・・］
ができあがります．また，黄金比φ＝（１＋√５）／２は，
φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］
で表されます．黄金比φ＝（１＋√５）／２が，無限連分数
φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］
や無限の入れ子の根号
φ＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・
で３通りにも表されるという事実は魔法のようにさえ思えます．
ここでは，連分数展開を用いて数の集合を定義してみますが，たとえば，正の実数が無限連分数展開され，そのすべての部分商が１または２であるような実数の集合のハウスドルフ次元は０．５３１２８０５０６・・・であることが計算されています．
３次以上の方程式の解，たとえば3√２の連分数展開を求めると，
3√２＝［１：３，１，５，１，１，４，１，１，８，１，１４，１，１０，２，１，４，・・・］
の一般項は求めることができません．この展開に現れる整数に最大値があることも示すこともできないのです．
有理数は有限連分数，無理数で代数的数の場合は無限循環連分数，超越数は無限非循環連分数になります．たとえば，超越数ｅの連分数展開は，
ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］
と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかります．すなわち，
ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，１，２ｎ，１，・・・］
πの連分数展開
π＝［３；７，１５，１，２９２，１，１，１，２，１，３，１，１４，２，１，１，２，２，２，２，１，８４，２，１，１，１５，３，１３，１，４，２，６，６，９９，１，２，２，６，３，５，１，１，６，・・・］
にはなんの規則性も見あたらないようにみえます．もちろん，一般項は見つかっていません．１０進数表現しても
ｅ＝２．７１８２８１８２７４５９０４５・・・
π＝３．１４１５９２６５３５８９７９３・・・
ｅには何かパターンがありそうに見えますが，πの数の並び方には何のパターンもありません．しかし，単純連分数（分子がすべて１）に限らなければ，
π／４＝１／｛１＋１^2／｛２＋３^2／｛２＋５^2／｛２＋７^2／｛２＋９^2／｛２＋・・・｝
分子には奇数の平方が並んでいるというパターンを見つけることができます．
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単純循環連分数
Ｌ＝［ａ：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］
で表される数Ｌを求めてみることにしましょう．
Ｌ−ａ＝Ｒ＝［０：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝１／（ｂ＋Ｒ）
Ｒ^2＋ｂＲ−１＝０ → Ｒ＝（−ｂ＋（ｂ^2＋４）^(1/2)）／２
Ｌ＝ａ＋Ｒ＝ａ−ｂ／２＋（ｂ^2／４＋１）^(1/2)
同様に，２項が循環する連分数は
Ｌ＝［ａ：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］
Ｌ＝ａｂ−ｂｃ／２＋（（ｂｃ）^2／４＋ｂｃ）^(1/2)
ところで，数を連分数で表示すると数字１が大量に出現することに気づきます．そこで，連分数の部分商の分布について考えてみます．
［参］Havil著，新妻弘監訳「オイラーの定数ガンマ」共立出版
によると，整数部を除いた［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］がｘより小さい小数となる確率は
Ｐ（［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］＜ｘ）＝ｌｏｇ2（１＋ｘ）＋εn
で与えられますが，１９２８年にクズミンはほとんどすべての連分数に対して，
εn＝Ｏ（ｑ^√n） ０＜ｑ＜１
１９２９年にレヴィは
εn＝Ｏ（ｑ^n） ｑ＝０．７
であることを示しました．どちらも誤差項εnは漸近的に０になることを示しています．
連分数の部分商の確率密度関数は
Ｐ（ａn＝ｋ）＝Ｐ（ｋ＜εn＜ｋ＋１）＝Ｐ（εn＜ｋ＋１）−Ｐ（εn＜ｋ）
→ｌｏｇ2（１＋１／ｋ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ｋ＋１））＝ｌｏｇ2（１＋１／ｋ（ｋ＋２））
したがって，十分大きなｎに対する部分商の起こる確率Ｐは
ｋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９＋
Ｐ（ａn ＝ｋ） .41 .17 .09 .06 .04 .03 .02 .02 .16
となることがわかります．
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次にａnの平均値を求めてみます． ヒンチンは一般の連分数
［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］
の大多数についてあてはまる法則を発見しています．
ヒンチンの定理とは，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数
（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･
に収束するというものです．κ＝２．６８５４５・・・はヒンチンの定数として知られています．
ただし，分母に明確なパターンのある代数的数やｅをはじめとするいくつかの超越数は例外になります．
（ｅの場合，（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→0.6259･･･）
算術平均は発散するのに対し幾何平均は収束するというわけですが，ほとんどすべての連分数の場合，調和平均も収束し，その極限値は
ｎ／（1/ａ1+1/ａ2+・・・+1/ａn）→１．７４５４０５６８・・・
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