フェルマーの問題『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない』において，フェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１は非有理曲線で，ｎが奇数の場合，ｙ＝−ｘを漸近線とする長くゆるやかに曲がった弓形曲線，ｎが偶数の場合，テレビのブラウン管のような押しつぶされた円形になり，ｎが大きくなるにつれて正方形に近づいていきます．
フェルマーの問題を解くことは，２変数ｎ次多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^n＋ｙ^n−１＝０に，有理数解があるかどうかを考える問題に対応します．楕円曲線はフェルマー予想の解決で注目された曲線で，楕円曲線と三点で交わる直線で，そのうちの二つの交点の座標がわかれば他の一点の座標も計算でき，二つの点の座標が有理数ならば，他の一点の座標も有理数であるなどの性質をもっています．
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【１】ジーゲルの有限性定理（１９２９年）
ａ）整数係数のａｘ＋ｂｙ＝ｃは無数の有理数解をもちます．
ｂ）二次曲線ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃのグラフは円錐曲線ですが，この方程式が有理数解を１つもてば，実は無数のもつことを示すことができます．たとえば，方程式ｘ^2＋ｙ^2＝１には，無限に多くの有理数解，（３／５，４／５），（５／１３，５／１２），（１２／３７，３５／３７）など・・・が存在します．ところが，半径が√３の円，ｘ^2＋ｙ^2＝３になると有理点は全くなってしまいます．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．
ｃ）「三次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど，３次以上の不定方程式には一般に整数解が有限個しかない．」
これを証明したのはジーゲルで，その定理はジーゲルの有限性定理（１９２９年）と呼ばれています．この定理により，すべての２変数多項式の可解性が決定したわけではありませんが，少なくとも２変数２次多項式の可解性条件はわかったことになります．
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【２】モーデル・ファルティングスの定理
モーデル・ファルティングスの定理（１９８３）とは，「種数が２以上の代数曲線は有理点を有限個しかもたない．」というものです．２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線と呼んでいます．一方，種数が１である曲線に楕円曲線があります．したがって，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．
円錐曲線の有理点は無限ですが，楕円曲線の有理点は有限です．実際問題として，有限とはいってもものすごい大きさこともあるわけですが，無限よりは範囲が狭められたことは確かです．すなわち，フェルマーの方程式に解があるとすればそれぞれのｎに対して解は高々有限です．モーデル・ファルティングスの定理によって有限個しか解がないことはわかりましが，１つもないかどうかはわかりません．フェルマーの予想が証明されたというのではありませんが，それでも大変な前進であることは明らかです．
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【３】リーマン・フルヴィッツの公式
フェルマー曲線の分岐点はｘ^n＝１を満たすｎ個のｘにより［ｘ，０，１］と表される点であり，分岐指数はすべてｎであるから，リーマン・フルヴィッツの公式より
χ（Σ）＝２ｎ−ｎ（ｎ−１）＝３ｎ−ｎ^2
また，種数についてはχ（Σ）＝２−２ｇを使えば
ｇ＝（ｎ−１）（ｎ−２）／２
となる．
すなわち，フェルマー曲線は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で，これはｎ＝３のとき１ですが，ｎ≧４のときは２以上となりますから，そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです．
［補］楕円曲線
Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｙ^2ｚ−−４ｘ^3＋ｇ2ｘｚ^2＋ｇ3ｚ^3
が重婚をもつときの分岐指数を調べると
ｇ2＝０の場合，χ（Σ）＝２・３−（２＋２＋２）＝０
ｇ2≠０の場合，χ（Σ）＝２・３−（２＋１＋１＋１＋１）＝０
こうして，Σはトーラスとなる．
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【４】多項式に関するフェルマー・ワイルズの定理の類似物
フェルマー・ワイルズの定理『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない』をご存じの方は多いだろう．ところで，多項式に対するフェルマー・ワイルズの定理の類似
『方程式ｘ（ｔ）^n＋ｙ（ｔ）^n＝ｚ（ｔ）^nでｎ≧３のとき，定数でない互いに素なｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ）は存在しない』も成り立つ．しかもそれは１９世紀には知られていたようである．
代数幾何学を使って証明されたのであるが，メーソン・ストーサーズの定理を使えばすごく簡単に証明できるという．コラム「フェルマー・ワイルズの定理の類似物からａｂｃ予想へ」を参照されたい．
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