正多面体の展開図を描いてみる．正四面体の展開図は正三角形，平行四辺形の２種類あり，どちらも平面充填図形である．立方体の展開図は回転と裏返しで同形になるものを除くと１１種類あり，意外なことにそのすべてが平面充填図形となる．正八面体は立方体の双対図形であるから，展開図の個数は等しく，ともに１１種類になる．正十二面体と正二十面体も互いに双対図形であり，展開図の総数は４３３８０種類にもなるそうである．正十二面体の展開図はひとつも平面充填図形にならないが，正二十面体の展開図には平面充填図形になるものが存在する．
ここでは面正則多面体（プラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデス角柱・アルキメデス反角柱・ジョンソン立体）の辺展開図を考えて，少なくともひとつの展開図が平面充填可能な図形になるか否かという問題を取り上げる．
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【１】シェパードの定理
まず，これまで知られていることを整理してみたい．
［参］G.C. Shephard: Tessellation Polyhedra
によると，
プラトン立体：正四面体，立方体，正八面体，正二十面体
アルキメデス立体：なし
アルキメデス角柱：立方体
アルキメデス反角柱：正八面体
ジョンソン立体：５個のデルタ多面体とＪ1，Ｊ14，Ｊ15，Ｊ16，Ｊ86
がタイル貼り可能であることがわかっている．
また，正五角形，正八角形，正十角形を含むものはタイル貼り不可能であることが証明されている．
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【２】一様タイル
面正則多面体（プラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデス角柱・アルキメデス反角柱・ジョンソン立体）のなかで，プラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデス角柱・アルキメデス反角柱は頂点が一様であるが，ジョンソン立体は一様ではない．そこでまず一様タイルを網羅してみたい．
［１］プラトンの平面充填形
正多角形は無限に多く存在しますが，それでは「互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？」
この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます．正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角ですから，
２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，
１／ｐ＋１／ｑ＝１／２ （ｐ，ｑ≧３）
で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．
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［２］アルキメデスの平面充填形
１種類の正多角形を使ったタイル張りはわかりましたが，それでは２種類以上の正多角形を使ったらどうでしょうか？ それを全部求めてみよといわれたらちょっと大変です．まず，どんな多角形を組み合わせたら，頂点のまわりを完全に埋めることができるかを考えてみましょう．
頂点のまわりには正三角形でも６個より多く並べることはできません．しかもこの場合は全部が正三角形に限ります．次に５個集まる場合は少なくとも正三角形が３個なければなりませんから，結局，５個の組は正三角形３個と正方形２個か，正三角形４個と正六角形１個の場合しかありません．次に４個の場合，正多角形をそれぞれｐ1 ，ｐ2 ，ｐ3 ，ｐ4 角形（ｐi ≧３）とすると，必要条件は
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＋１／ｐ4 ＝１
３個の場合は同様に
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＝１／２
と書けます．これを満たす３以上の正の整数の組を求めればよいことになります．
実際に解いてみると必要条件を満たす組は１７組できますが，十分条件を満たさない，すなわち，１点のまわりだけは完全に埋められても平面のタイル張りにならないものがでてきます．たとえば，正五角形，正十角形を含むものは実際にタイル貼りを完成させることができません．
十分条件を満たしたものだけを列挙すると
プラトンの平面充填形：（３^6），（４^4），（６^3）
アルキメデスの平面充填形：（３^4６），（３^3４^2），（３４^2６），（３^2６^2），（４８^2），（４６１２），（３１２^2）
ですが，（３^3４^2）には本質的に異なる並べ方が２通りあり，結局，求めるタイル張りであるアルキメデスの平面充填形は８種，ただ１種類の正多角形を使う場合の３通り（プラトンの平面充填形）を含めて全部で１１通りあることになります．
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［３］基本領域
１１通りの基本領域はプラトンの平面充填形：（３^6），（４^4），（６^3）ではそれぞれ正三角形，正方形，正六角形ですが，アルキメデスの平面充填形では
（３^4６） ：正三角形：正六角形＝８：１
（３^3４^2）：正三角形：正方形＝２：１
（３４^2６）：正三角形：正方形：正六角形＝２：３：１
（３^2６^2）：正三角形：正六角形＝２：１
（４８^2） ：正方形：正八角形＝１：１
（４６１２）：正方形：正六角形：正十二角形＝３：２：１
（３１２^2）：正三角形：正十二角形＝２：１
となります．
タイル貼り可能の必要条件は，面正則多面体の展開図がこれらの基本領域と同じ比率になることですが，合致する多面体をあげると
プラトン立体：正四面体，立方体，正八面体，正二十面体
アルキメデス立体：なし
アルキメデス角柱：立方体
アルキメデス反角柱：正八面体
また，ジョンソン立体では
ジョンソン立体：５個のデルタ多面体とＪ14，Ｊ15，Ｊ16
だけが必要条件を満たします．実際に模型で確かめてみるとこれらすべてがタイル貼り可能であることがわかります．
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【３】擬似一様タイル
アルキメデスの平面充填形は全部で８種ありましたが，アルキメデス立体やジョンソン立体は全部で何種類あるでしょうか？
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＋１／ｐ4 ＞１
１／ｐ1 ＋１／ｐ2 ＋１／ｐ3 ＞１／２
のすべての可能な解を列挙し，対応する多面体の存在・非存在を論じなければなりません，アルキメデスの平面充填形の最大ｐi角形は１２でしたが，その過程でアルキメデス立体，ジョンソン立体では１０になること，ｎ（≧１１）角形を含む面正則凸多面体は角柱か反角柱だけであることが証明されます．しかしながら，アルキメデス立体の１３種はともかくとしてジョンソン立体は９２種であることの完全な分類に達することは簡単ではありません．
また，面が正多角形の面正則多面体（プラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデス角柱・アルキメデス反角柱・ジョンソン立体）のなかで，各頂点の周りが一定な面で囲まれていないのはジョンソン立体だけです．すなわち，ジョンソン立体は擬似一様多面体ということになります．これまで調べてきたアルキメデスの平面充填形はどの頂点でも一様なタイルでしたが，ジョンソン立体では擬似一様タイルを考える必要が生じます．
［１］分割型擬似一様タイル
アルキメデス立体やジョンソン立体では最大１０角形までですから，擬似一様タイルを構成するには，アルキメデスの平面充填形の正十二角形や正六角形を分割する方法が考えられます．
それにはアルキメデスの平面充填形（３４^2６）（基本領域は正三角形：正方形：正六角形＝２：３：１）の正六角形を正三角形６個で置き換えたもの（正三角形：正方形＝８：３）やアルキメデスの平面充填形（３１２^2）（基本領域は正三角形：正十二角形＝２：１）の正十二角形を正三角形１２個，正方形６個で置き換えたもの（正三角形：正方形＝１４：６），アルキメデスの平面充填形（４６１２）（基本領域は正方形：正六角形：正十二角形＝３：２：１）の正六角形を正三角形６個で，正十二角形を正三角形１２個，正方形６個で置き換えたもの（正三角形：正方形＝２４：９）などがあります．しかし，これらの基本領域に合致する多面体は存在しません．
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［２］挿入型擬似一様タイル
（３，３，３，４，４）は正方形の帯と正三角形の帯の平行な帯，カゴメ格子（３，６，３，６）は正六角形と正三角形の組み合わせの帯からなっていますから，それらの帯の間に正方形の帯，正三角形の帯，正六角形と正三角形の組み合わせの帯などを挿入する作り方が考えられます．このようにすれば正三角形：正方形：正六角形比を一様タイルとは異なる値に定めた複雑なタイル貼りを構成することができます．
その際，中心対称（２回回転対称）で差し渡し幅が一定の展開図について探索することにします．正五角形，正八角形，正十角形を含むものはタイル貼り不可能であるという「シェパードの定理」はそれらが２回回転対称で定幅にならないので平行四辺形（平行六辺形）を作ることができないということの現れと考えられるからです．
ジョンソン立体で正三角形と正方形でできるものは全部で２４種類あります．これらはデルタ多面体に次いで単純なわけですが，挿入型擬似一様タイルからはＪ1（正四角錐）やＪ86（３^12４^2）がタイルになること，また，シェパードが見逃したＪ50の展開図も平面充填可能となることが確かめられます．
ジョンソン立体で正三角形と正方形と正六角形でできるものは全部で８種類ありますが，中心対称（２回回転対称）で差し渡し幅が一定という必要条件を満たす多面体はＪ55，Ｊ56，Ｊ57と六角反柱だけですが，正六角形を含むこれらの多面体はすべてタイル貼り不可能でした．
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【４】雑感
ひとつの多面体であっても展開図の個数は非常に多くなってしまう．膨大な数のすべての組み合わせについて漏れなく探索するためにはコンピュータプログラムが必要になるが，オルーク先生によるとそのようなアルゴリズムは（いまのところ）ないという．
しかし，挿入型擬似一様タイルの差し渡し幅は一定のものに限定しても一般性は失われないものと思われる．そうしてついにシェパードが見逃したものを探し出すことができた．これだけ大騒ぎして探し出すことができたのはＪ50だけであったからまさに大山鳴動してネズミ一匹である．しかし，どこから手をつけてよいやらわからなかった問題をある程度系統的に探索した結果であるから満足することにしたい．試行錯誤でしらみつぶしに探索することは到底出来ないが，見逃したものはないはずである．
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