このシリーズでは，デルタ多面体８種類による空間充填やＪ91充填（正１２面体＋立方体＋Ｊ91の３種類の多面体からなる充填構造）を紹介してきた．見方を変えれば，こられの空間充填形は，空間の分割においてすべての連結切断面が正多角形であるような非自明な分割の存在を示唆していることになる．

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［Ｑ］ＪＺ多面体９２種（＋正多面体＋準正多面体）のうち，何種類かを用いて空間充填できるものをすべて決定したい．

［Ａ］

　(a)立方体だけ

　(b)正四面体＋正八面体

　(c)Ｊ91充填

　・・・・・・・・・・・

　Ｊ91を含む空間充填の発見には驚かされたが，この考えの延長線上ではいつまでたってもらちがあかない．全数探索する必要があるのだが，コンピュータの助けを借りるとしても膨大な計算が必要になるだろう（ざっと見積もって１５０^3）．

　なお，面正則多面体にはアルキメデル角柱，アルキメデス反角柱も含まれる．アルキメデス角柱の二面角は簡単であるから，ここではアルキメデス反角柱の二面角を求めてみる．

　１辺の長さが１であるとき，正ｎ角形の外接円の半径をｒとすると

　　ｒｓｉｎ（π／ｎ）＝１／２　→　ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

また，反角柱の高さは

　　Ｈ^2＝１^2−（２ｒｓｉｎ（π／２ｎ））^2

　　Ｈ＝｛１−１／（２ｃｏｓπ／２ｎ）^2｝^(1/2)

正ｎ角形面と正三角形面の二面角は

　　ａｒｃｃｏｓ（２Ｈ／√３）＋π／２

で与えられる．正三角形面同士の二面角の求め方は演習問題として残しておきたい．

　　　　　ｎ　　　　　高さ　　　　二面角　　　二面角

　　　　　３　　　　.816497　　　109.471 　　109.471

　　　　　４　　　　.840896　　　103.836 　　127.552

　　　　　５　　　　.850651　　　100.812 　　138.19

　　　　　６　　　　.8556　　　　98.8994 　　145.222

　　　　　７　　　　.858473　　　97.5722 　　150.222

　　　　　８　　　　.860296　　　96.5946 　　153.962

　　　　　９　　　　.861526　　　95.843 　　156.866

　　　　　10　　　　.862397　　　95.2466 　　159.186

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